Problème de trigonometrie

Bonsoir, j'ai un énoncé dont je n'arrive pas à faire le dernier point.

(l'énoncé est en pièce jointe)

Pour les deux premiers points, aucun soucis.
Je tombe sur (1-√5)/4 pour cos(2a) et sur (-1-√5)/4 pour cos(4a)

Je suis sûr que c'est juste car le prof a donné les réponses de ces deux points.

En revanche il y a une astuce pour trouver a que je n'arrive pas à trouver... Le prof dit que c'est possible en 4 ou 5 lignes, et que ce n'est pas pour rien qu'on nous a fait calculer cos(2a) et cos(4a).

J'ai essayé avec les formules de trigo (cos(a)-cos(b), cos(a)+cos(b) ou encore cos(a)*cos(b),... ) mais on tombe sur des sin(3a)...

En espérant que quelqu'un pourra m'aider à trouver ce fameux truc,

Bonne soirée

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Modifié 1 fois. Dernière modification le 12/12/11 19:51 par woodoo.

Bonjour,

C'est plutôt dans l'observation des résultats que se trouve la réponse.
D'abord, on sait que sin(a) = (1 + V5)/2 et que que -PI <= a <= PI/2 (voir domaine de définition de arcsin)
D'autre part, V2/2 < (1+V5)/4 et donc a > PI/4
Enfin, (1+V5)/4 < V3/2 donc, a < PI/3
On peut donc dire que 4a appartient au troisième quadrant
Et les calculs précédents ont montré que
- cos(4a) = sin(a)
Pour "ramener" la comparaison des angles dans le troisième quadrant, on a:

sin(a) = - cos( (3PI/2) - a)

Donc:

- cos (4a) = - cos( (3PI/2) - a)

Ce qui permet de conclure.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/12/11 16:13 par JP.

Merci beaucoup JP pour ton aide!

Par contre, il me semble qu'il y a deux erreurs dans ton message.

Lorsque tu dis "D'abord, on sait que sin(a) = (1 + V5)/2 et que que -PI <= a <= PI/2 (voir domaine de définition de arcsin) ", je crois que sin(a)=(1+V5)/4 et que -PI/2 ≤ a ≤ PI/2.

Mise à part ça tout est très clair! Merci beaucoup encore une fois.

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Bonsoir,

J'ai beau vite faire un petit brouillon sur papier, et je tape encore à côté. Mais le contexte a rétabli les choses, heureusement.

a = arcsin( (1 + V5)/4 ) donc sin(a) = (1+V5)/4. Mais j'ai bien noté V2/2 < (1+V5)/4 etc...
Et le domaine de définition de l'arcsin est bien sûr [-PI/2;+PI/2]

Désolé de ces er - horreurs. Je tacherai de mieux me relire la prochaine fois.
Bonne continuation