Développement limité...

Bonjour,

Je planche sur des exercices d'électrostatique (préparation du CAFEP/CAPES mais je suis largement spécialisé en chimie) et il y a une question qui fait intervenir un calcul de développement limité... C'est un peu loin pour moi tout ça, j'ai beau chercher dans mes TD et cours de L1, je ne vois pas comment faire...

Voilà la formule du champ E créé par un disque de rayon R uniformément chargé (densité superficielle de charge σ) au point M appartenant à l'axe Oz (axe de rotation du disque) :

E_z = σ/2ε₀*(z/|z| - z/(R²+z²)^1/2)

La question est de donner la valeur de E_z lorsque l'on est loin du disque, autrement dit lorsque z ≫ R (on va supposer que z est positif).

Et dans la solution ils disent que par un développement limité d'ordre 1, on obtient :

σR²/4ε₀z²

Comment faut-il faire ? Parce que là je suis perdu...

Déjà z ≫ R ça veut dire z en + l'infini ? Donc il faut poser h = 1/z pour faire en zéro ?

En bidouillant un peu la formule je suis arrivé à ça mais ça ne m'a pas l'air d'être la bonne solution...

σ/2ε₀*(1 - ((1/R)/(h((1/R²h²) + 1)^1/2)))

HELP!



Modifié 1 fois. Dernière modification le 08/08/11 17:34 par Toninjinka.

Bon alors, personne ? =/

Je pense que ça fait intervenir le DL de 1/(1+x)^1/2 mais j'suis pas encore tombé sur le bon résultat...

PS : dsl pour les formules pas très lisibles



Modifié 1 fois. Dernière modification le 10/08/11 20:37 par Toninjinka.

Hello,

Regarde les exemples ici : [fr.wikipedia.org]

avec (1+x)^(-1/2)

Tu tentes ?

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Bonjour (et bonnes vacances...)

Il faut en effet utiliser Taylor-Mac Laurin)
Moyennant conditions (f fonction continue sur [0,x] admettant des dérivées 1ière, 2de,... et nième continues sur [0,x] et une dérivée (n+1)ième finie sur (0,x), alors f peut s'écrire:

f(x) = f(0) + f'(0).[x/1!] + f'' (0) . [x²/2!] + ... + f(n) (0) . [x^n/n!] + Rn
avec donc f(n) la dérivée nième de f (et pas f calculée en n)) et Rn le reste:

Rn = f(n+1) (y) . [x^(n+1)/(n+1)!] et y appartenant à (0,x)

(Pour une meilleure transcription, voir effectivement Wikipedia par exemple)

A vue de nez, la solution (un carré) est le développement limité d'ordre 2. Voyons cela.

Si z est positif, z/|z| = 1; et pour simplifier les expressions, notons A= σ/2εo

E(z) = A(1 - z/[(R² + z²)^(1/2)] = A. ( 1 - 1/[( (R/z)² + 1 )^(1/2)] ) en supposant donc z différent de 0, ce qui est correct puisque on a z>>R)

En posant h = R/z, on a donc la fonction:

f(h) = E(z) = A. (1 - 1/[ (h² + 1)^(1/2) ]

On devrait, sauf erreurs, trouver (me dire si cela ne va pas) que:

f(0) = 0 (En fait, pour être rigoureux, comme h = R/z, il faudrait définir f(0); et donc définir f en 0 en disant que f(0) = 0 et enfin, vérifier la continuité de f et de ses dérivées en h = 0 )
f'(h) = Ah/[(1+h²)^(3/2)] et donc f'(0) = 0
f"(h) = A/[(1+h²)^(3/2)] - 3Ah²/[ (1+h²)^(5/2)] et f"(0) = A

Et finalement donc:

E(z) = f(h) = 0 + 0.h/1! + A.h²/2! + R2 (R2 est le reste comme indiqué plus haut)

Et on a bien le résultat annoncé avec h = R/z

Bonne continuation. JP

PS. Si, comme le suggère Greg, on peut considérer comme acquis le développement de (1+x)^(1/2) comme noté plus haut, en regardant en effet sur Wikipedia,
on peut poser: f(h) = g(x) avec x = h². Et donc, il suffit de remplacer avec:

g(x) = A(1 - (1+x)^(-1/2) )

Sachant que (1+x))^(-1/2) = 1 + (-1/2).x + Reste (Ce qui justifie probablement le "développement d'ordre 1" dans la réponse suggérée)
De toute façon, pour obtenir le développement de (1+x))^(-1/2), il suffit de procéder comme pour f.



Modifié 3 fois. Dernière modification le 11/08/11 02:06 par JP.

Merci beaucoup Greg et surtout JP !!

Je pensais bien qu'il fallait utiliser un DL connu mais je n'avais pas su ré-écrire l'expression de E de façon à faire apparaître quelque chose de connu...

Du coup, j'ai suivi ton post pas à pas JP et vérifié la méthode avec la formule de Mac Laurin (j'avais également mon cours d'Analyse de première année sous les yeux ^^) donc pas de souci je trouve bien la bonne réponse, tout comme toi. Je dois avouer que ne serait-ce que les calculs des dérivées, j'ai bien perdu l'habitude... Mais c'est bon...

Et donc, avec l'autre méthode (corrigez moi si je dis des bêtises), en fait j'écris le DL de (1+x)^-1/2 puis je remplace successivement x par h² et h par R/z et ensuite je dis que le DL de E c'est celui de cette expression multiplié par celui de -A et additionné à celui de A, encore (cf. l'expression générale de E). Hors, le DL de A est égal à A puisque f(0) = A. Et après développement (non limité cette fois =p) je retombe bien sur le résultat attendu!

Par contre... Etait-il possible de retrouver le DL de (1+x)^-1/2 en passant par la composition de (1+x)^1/2 et 1/x ?? Parce que quand je relis mon cours, c'est un peu indigeste... Je vois qu'il faut que f(0) soit égal à 0... Ce qui ici est un peu absurde parce qu'on devrait dériver 1/x en 0... C'est quoi le plus simple finalement pour retrouver ce DL ? La composition ou Mac Laurin ?

Merci encore en tout cas ;)

Bonjour,

Si je comprends bien l'objet de la question, c'est: connaissant les DL de deux fonctions a(x) et b(x), puis-je en déduire le DL de a(b(x)) ?

Ainsi, si a(x) = (1+x)^(-1/2) = 1 - x/2 + reste
et b(x) = x² (et donc son développement limité est bien sûr x²)
(1 + x²)^(-1/2) = a(b(x)) = ?
Oui, on peut dire que a((b(x)) = 1 - [b(x)]²/2 + Reste = 1 - x²/2 + Reste

Mais il faut bien faire attention d'où on vient et où on va, sinon on arrive au problème justement évoqué!

Ainsi, si a(x) = (1 + x)^(1/2) et b(x) = 1/x
On a:

(1 + x)^(-1/2) = b(a(x))

Chercher le DL au voisinage de 0 pour x implique la recherche du DL de b(x) au voisinage de 1 (puisque a(0) = 1) et non au voisinage de 0

Et donc, il faut calculer:

b(x) = b(1) + [b'(1)/1!].(x-1) + Reste (b(x) est bien dérivable au voisinage de 1)
b(x) = 1/1 + [(-1/1²)/1].(x-1) + Reste
b(x) = 1 - x + 1 + Reste = 2 - x + Reste

Et finalement: sachant que a(x) = 1 + x/2 + Reste, on a:

b(a(x)) = 2 - (1 + x/2) + Reste = 1 - x/2 + Reste

Pour être complet, il faut bien veiller aussi à composer les DL du même ordre (ici, je me suis donc contenter du premier ordre)

Voilà, j'espère avoir répondu à la question, si c'était bien la question!