DM : KMS/h distance vitesse triangle rectangle

Voir schéma repère orthonormé

Un piéton se dirige de la ville A vers la ville B ; un cycliste se dirige de B vers A. On a représenté la distance d (en km) qui sépare chacun d’eux de la ville A à l’instant t (t en minute)

NB : le temps est compté à partir de l’heure de départ du piéton, c'est-à-dire 10 heures.



I ) Recopier le récit suivant sur la feuille de copie et le compléter :
les réponses concernant les vitesses seront justifiées. :

Un piéton part de A à 10h00 et marche vers B à la vitesse de 6 km h-1 en se reposant
5 minutes tous les 1 km.
Solution Au vu du graphique
10 minutes pour 1 km
60 minutes pour 6 kms
60/10 = 6kms/h

Un cycliste part de B à 10h05 et roule vers A à la vitesse de 26km h-1 ; victime d’une
crevaison à 10h10, il effectue la réparation pendant 20 minutes et atteint A à 10h37
Solution au vu du graphique
2kms parcouru en 5 minutes
on va divisier pour connaître le temps réalisé pour 1 km soit
1 km = 2minutes 30
on fait le rapport pour 60 minutes pour connaître la vitesse en KM/h
soit 60 : 2,30 = 26kms/h



2. Grace au graphique estimer l’heure de la rencontre du piéton et du cycliste ?

les courbes qui représentent le chemin parcouru par le piéton et par le cycliste se coupent
à 2,2 kms vers 10h32




3. Déterminer les équations des droites supports de (CD) et (EF). En déduire par le calcul
l’heure exacte de la rencontre et l’heure exacte à laquelle le cycliste arrive à la ville A (pointF).

Pouvez vous m’aider je n’arrive pas à trouver la formule






ex 2 :

ABCD est un rectangle tel que AB = V2 (racine carré) et AD=1 . Soit E le milieu de (CD) et K le point d’intersection de (AE) et (BD)

1 calculez AE et BD
Démontrer que les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires grâce au 4 méthodes suivantes :

- Méthode 1(faite en classe) : calculez AK et DK en utilisant le théorème de Thalès et démontrez que le triangle ADK est rectangle.

- Méthode 2 : Démontrez que K est le centre de gravité du triangle ADC . Calculez AK et DK et démontrer que le triangle ADK est rectangle.

- Méthode 3 : Démontrer que les angles DAE et BDC ont même sinus et démontrer que le triangle ADK est rectangle.

- Méthode 4 : Soit L le milieu de (BC) Calculez EL et AL et démontrer que AEL est un triangle rectangle en E.



I ) CALCULEZ AE ET BD :

On sait que ADE est un triangle rectangle en D donc d’après le théorème de Pythagore on a :

AE 2 = DE2 (DE2 au carré) + AD2 (AD2 au carré)
AE2 = ( V2) 2 + 1 2 racine carré de 2 sur 2 au carré + 1 au carré
2

AE 2 = (1)2 + 12
AE 2 = 2
AE = V2

On sait que ABD est un triangle rectangle en A donc d’après le théorème de pythagore on a :

DB2 = 12 + V2
DB2 = 3
DB = V3 (racine de 3)

2ème Partie selon la Méthode n°2 :

Dans le rectangle ABCD on sait que les diagonales d’un triangle se coupent en leur milieu donc DB coupe AC en son milieu .
On sait que (AE) coupe (DC) en son milieu ; on en déduit que (AE) et (BD) sont les médianes du triangle ACD donc par définition les trois médianes du triangle sont concourantes ce point de concours est appelé centre de gravité du triangle.

On sait aussi que le centre de gravité du triangle est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet


Calcul de AK :
On sait que AE = V2 donc
AK = 3V2 X 2 = 2 V2
3 3

Calcul de DK :
On sait que DB = V3 donc
DK = V3 X 2 = V3
2 3 3
AD2 = 12 = 1
DK2 + AK2 = (V3)2 + (2V2)2
3 3


Je sais que mon triangle est rectangle hors mes résultats ne le vérifient pas pouvez vous m’aider j'ai du faire une erreur dans mes formules


Attention 2 documents en pièce jointe : Repère orthonormé et figure géométrique


Merci pour votre aide



Modifié 2 fois. Dernière modification le 08/12/10 09:07 par JP.

Bonjour,

Je vois quelques fautes.

Exercice 1
Attention: il y a quand même 60 secondes dans une minute. Et donc 2 minutes 30 secondes, cela fait 2,5 minutes (2 minutes plus la moitié d'une minute!)
Donc, pour le cycliste, 2km en 5 minutes, cela fait 1 km en 2,5 minutes. Le cycliste fait donc du 24 km/heure
(Ou aussi, 1 heure = 60 minutes = 12 X 5 minutes et donc le cycliste fait du (2 X 12)km/heure )

La droite CD passe par les points (30,2) et (40,3)
L'équation d'une droite passant par deux point de coordonnées (x1, y1) et (x2, y2) a pour équation:
(y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1)
Il suffit de remplacer pour trouver l'équation de la droite
(Une autre façon est de dire que l'équation générale d'une droite est y= ax+b, de remplacer x et y par les valeurs des deux points et on obtient deux équations à deux inconnues en a et b qu'il suffit de résoudre)
Je trouve pour CD: x - 10y - 10 = 0

De même EF passe par (30,3) et (35, 1) On en déduit par la même formule: -2x - 5y + 75 = 0

Il suffit de résoudre le système avec les deux équations pour en déduire l'heure et l'endroit de la rencontre.
D'autre part, il suffit de faire y = 0 dans l'équation -2x - 5y + 75 = 0 pour avoir l'heure d'arrivée du cycliste.

Exercice 2
Si AB = V(2) (racine carrée de 2)
AE² = ([V(2)]/2)² + 1² = (2/4) + 1 = (1/2) + 1 = 3/2 et donc
AE = (V3)/(V2) = (V3 V2)/(V2 V2) = (V6)/2

OK pour DB

De ce que tu as dit sur l'intersection des médianes, AK = 2/3 de AE et donc AK = (V6)/3
DK = 2/3 de la moitié de DB, donc DB = (2/3).((V3)/2) = (V3)/3
Et on a bien que AK² + DK² = 1 = AD²

J'espère que tout clair ainsi.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 08/12/10 09:07 par JP.