Les projecteurs

Bonjour

J'ai un super gros soucis avec ce problème .

Pouvez-vous m'aider ?

*Les parties I,II,III sont indépendantes les unes des autres mais utilisent les résultats I,II

Partie I

Soient E un IK-espace vectoriel et f une forme sur E . On pose H=Kerf.
Soit a n'appartient pas H.
Montrer que E=H +directe vect IK(a)

Remarque :On pourrra utiliser ce résultat dans la suite, même sans l'avoir démontré .

Il faut montrer que l'ensemble des vecteurs nulles = H inter vectIka et la somme E= H +a

*{ 0 E}H inter vecta(intersection des sev)

Soit x appartient H inter vecta alors
x appartient Kerf et f(x)= 0E

et x appartient vecta ? on a rien sur a ...je ne peux pas conclure

*E=H+vecta

Soit x E alors (y,z)H x Vecta , x=y+z

...je suis déjà bloqué ...

Partie II

On considère un IK-espace vectoriel de E et L(E) l'ensemble des endomorphismes de E .
Soient deux projecteurs p,q et E vérifiant p ° q =O L(E)
(attention , on ne dit rien sur q°p)

On définit l'endomorphisme r = p+q-q°p

1.Soient deux endomorphismes (u,v) L(E)².Montrer que u°v=OL(E)<=> Imv inclu Keru.

On suppose u°v=0 et on doit montrer que ça => Imv inclu Imu

soit x appartient Imv alors y E , x=f(y)

...je n'arrive pas à partir ...

2.Montrer que r est un projecteur

r est un projecteur ssi r°r =r

r°r= (p+q-q°p) °(p+q-q°p) = (p+q)²-(p+q)°(q°p)-(q°p)°(p+q)-(q°p)² = r ?

3.Montrer que Ker r = Ker p inter Kerq

...comment démarrer ?

4. Montrer que Imr= Imp +directeImq

...

Partie III.L'espace vectoriel IR3

On considère dans cette partie le IR-espace vectoriel E = IR3

On définit F= {(x,y,z) IR3|x-y+z=0}

le vecteur g =(1,1,1) et G =vectIR(g)

On définit par ailleurs

k=(1,2,1) et K=vectIR(k), l1=(1,0,-1) et G=VectIR(l1,l2)

1.a)Montrer que F est un sous espace vectoriel de E et en déterminer une famille génératrice .

F={(x,y,z)IR3|x=y-z}
F={(y-z,y,z)| (y,z)IR² }
F=vect((1,1,0),(-1,0,1))

dont une famille génératrice est u = (1,1,0) et v = (-1,0,1)

b)Ecrire alors F sous la forme F=Kerf où f une forme linéaire

...la famille génératrice peut -elle aider ?

je fais au+bv E Kerf

<=> (a-b,a,b)=0

les coéfficients sont nuls ... ça ne marche pas

2.a Etablir qu'une équation du sous-espace L est L= {(x,y,z)IR3|x+y=z=0}

L=vect((1,0,-1),(-2,1,1))

euh...comment remonter en arrière ?

b)Ecrire alors L sous la forme L=Kerh où h une forme linéaire

faisable quand je connaitrai la méthode du 1.b

3.Montrer que E =F+directe G et que E= K +directe L

j'ai du mal ici


Le problème n'est pas terminé mais je préfère bien comprendre déjà cette partie ,grâce à votre aide je l'espère.

Merci