Ensembles

Bonjour

J'ai vraiment besoin d'aide pour le coup ,au niveau de l'échéance ,je n'ai plus beaucoup de temps ,j'ai gambergé trop longtemps ! :-(

Soit E un ensemble .Soient A et B deux parties non vides de E.
On note P(E) l'ensemble des parties de E.
On définit l'application suivante :
f : {P(E)-->P(A)*P(B)
X---->(X(interA),XinterB)

1.Déterminer f(E) ,f(vide),f(A),f(B),f(A(inter)B),f(aUB) .

Par pitié ,voulez-vous m'expliquer comment faire cela ??
petite méthode ...

2.a/On suppose que f est injective.En déduire une relation entre A,Bet E(on pourra se servir des résultats obtenus à la question précédente )

Déjà si f injective alors les élément de ?? E ?? admet au plus un antécédent.

d'où je pense , f(E)E f(A) inter f(B)

b)On suppose que AUB=E.Montrer que f est injective .
On peut utilisier la définition de l'injectivité ,remarquer que :X=X(inter)E=X(inter)(AUB),pour tout X E P(E).

J'essaye : Soit y E (AinterB) alors il existe x appartenant à AinterB tq,f(x) =y
Soit a E A et b E B
alors y = f(a) et y = f(b) après je sais que pour montrer que f injective je devrais avoir a =b ,sauf que je ne sais pas le justifier ...

3)a)Soit X E P(E) telle que X (inter) A = A.Montrer que A C X .

...
b)Soit XEP(E) tq X(inter)B=vide.Montrer que X C B(barre)

...désolé mais je n'y arrive pas

c)On suppose que f est surjective de P(E) sur P(A) * P(B).

i)Justifier l'existence de X E P(E) tq f(X)=(A,vide)
quel rapport peut-on faire avec l'ensemble vide ?

ii)En utilisant les questions précédentes du 3. montrer que A (inter)B=vide ,je pense que je pourrais le faire avec les explications ...

4.On suppose AinterB=vide.Soient Y E P(A) et Z E P(B).Etablir que
f(YUZ)=(Y,Z).

5.A l'aide de ce qui précède ,déterminer une condition nécessaire , et suffisante pour que f soit bijective .
f est bijective si elle est infective et surjective ,donc admet un unique antécédent donc ...je ne sais pas vu le peu de réponses que j'ai donné .

Je tiens à m'excuser pour toutes les réponses que je n'ai pas ...J'espère que vous voudrez bien m'aider .

Merci

c'est quoi ces smileys !!!

Comment les enlever ?