théorème de la bijection et trigo

Bonjour à tous !
Cette année je rentre en prépa ,et j'ai trouvé des exercices intéressants à préparer avant la rentrée,niveau terminale bien sûr .Cependant ,j'ai quelques soucis pour les dernières questions .Pouvez-vous m'aider ?

On se propose dans ce probl`eme, de r´esoudre l’´equation (E) :
x^3? 3x + 1 = 0
1. En utilisant la courbe d’´equation y = x^3, indiquer comment on peut conjecturer le nombre de solutions de l’´equation (E).

Là je ne vois pas par contre ...on peut voir sur la calculatrice que (E) et
y =x^3 coupe 3 fois l'axe des abscisses donc il y aurait 3 solutions pour
(E)=0.Mais à quoi sert y ,on peut très bien le voir avec (E) ?

2. On d´esigne par f la fonction d´efinie sur R par
f(x) = x^3? 3x + 1
(a) ´Etudier le sens de variations de f.

f ' (x) =3(x²-1)
f(x) croît sur l'intervalle moins infini moins 1 ,décroît sur [-1;1] et croît sur [1,+infini[

(b) Montrer que l’´equation (E) admet exactement trois solutions que l’on notera x1 ,x2 et x3 telles que x1 < x2 < x3.
Sur ]-infini,1] f est continue et strictement croissante .Elle réalise donc une bijection de ]-infini,-1] sur ]-infini,3] .Or 0 E]-infini,3] donc elle admet un unique antécédent x1 E]-infini,-1]

On procède de la même manière pour x2 et x3 .

(c) `A l’aide d’une calculatrice, proposer des valeurs approch´ees 10?3 pr`es de x1 , x2 et x3.
Je n'y arrive pas !!! Ce qui est très étonnant ...pouvez-vous me dire ppar quel chiffre commencer ? :-(

3. (a) Exprimer cos(3t) en fonction de cos t pour un r´eel t quelconque.
cos(3t)=cos(2t+t) = cos2tcost+sin2tsint
= (1-sin²t)cost+2sintcostsint
=(1-sin²t)cost+2sin²tcost
= cost[1-sin²t+2sin²t]
=cost[1+sin²]
=cost[1+1-cos²t]
=cost[2-cos²t]
=2cost-cos^3t

Je pense que ce n'est pas correcte ,mais c'est tout ce que j'ai trouvé ...

(b) Prouver que si x est un r´eel appartenant `a [?2 ; 2] alors il existe un r´eel t appartenant `a [0 ; pi] tel que x = 2 cos t.

là je sèche ...
(c) En d´eduire que si x est une solution de (E) alors il existe un r´eel t ? [0 ; pi ] tel que x = 2 cos t et 1+2 cos(3t) = 0.

bon là non plus je ne sais pas :si x solution de (E) alors sachant x = 2cost
2cos^3t-6cost+1 = 0 => 2cos^3t =0 => cos^3t= 0
t =pi/2 ???
(d) D´eterminer les valeurs exactes des trois solutions de (E).

sans les autres questions c'est un peu compliqué ...

En tout cas je vous remercie d'avance ,j'espère que vous avez tous passé de super vacances .:-)

Hello,

Pour ton équation (E), à quoi correspond le "?" ? C'est un "-" ? (je dis ça par rapport à la dérivée, non ?)

sinon la courbe y=x^3 coupe une fois l'axe des abscisses. Il y a un point d'inflexion en 0 (3 fois si tu veux).

C'est un polynome de degré 3 donc il y a au plus 3 solutions.

Avec les variations, ta fonction coupe l'axe des abscisses combien de fois selon toi ?

Je poursuis plus tard si personne ne prend la suite ;)
@+

bonjour
Excusez moi c'est bien un "-" ,erreur de frappe !


pour 2.c voilà ce que je trouve : -1,880<x1<-1,881 ok ?
0,348 <x2<0,346 ok ? car fonction qui décroît
1,533 < x3<1,600 ok?

Par contre je viens de me rendre compte d'une erreur pour la 3.
cos(3t)=cos(2t+t) = cos2tcost - sin2tsint
mais là non plus je ne trouve pas quelque chose de cohérent avec la suite ,en appliquant les mêmes formules que précédemment j'ai :

cos(3t) = cost(1-4sin²t)= -cost(3+4cos²t) .??

Merci :)

En fait pour la trigo, cos(2t)=cost²(t)-sin²(t)=1-2sin²(t) ou cos(2t)=2cos²(t)-1

pour la trigo j'ai cos(3t)=cost[2cos²t-1-2sin²t]= cost(2cos²t-1-2°cos²t)
=-3cost

cela doit être faux ,je trouve toujours quelque chose de différent !

c'est bon pour 2c ?

Pour 2c, c'est bon. Tu peux te vérifier avec la calculatrice en remplaçant x par l'une des valeurs.

Pour la trigo, ça ne va pas. Si tu remplaces t par PI, tu verras que ça ne marche pas. Repose sur un papier les éléments en y allant progressivement.

ok

cos(3t)=(2cos²t-1)cost-2sintcostsint
=cost(2cos²t-1-2(1-cos²t))
=cost[4cos²t-3]
=4cos³t-3cost

alors ??

Je trouve pareil ;)

si tu laisses cost en facteur, tu trouves donc (x²-3).x/2