D?riv?e la fonction

Bonjour j'ai un DM a faire et je bloque sur une question :

f(x)=1/3 (x?+x+1/x)

1)Etudier le sens de variation de f sur R.
-Je d?rive donc la fonction f(x= et j'obtient f'(x)=-1/x?+2x+1
-donc ensuite je calcul delta=b?-4ac et l? je n'arrive pas a trouv? a=?

Cela n'a pas l'air compliqu? mais je bloque!!!Donc si quelqu'un pouvait m'aider sa serait cool merci.

Bonjour,

Tu as oubli? le facteur 1/3 dans ta d?riv?e: f'(x)=1/3(-1/x?+2x+1)
Pour calculer le delta, il faut que tu ais un trin?me, ce n'est pas le cas ici. Il faut d'abord tout mettre sur le m?me d?nominateur pour faire appara?tre un polyn?me:
f'(x) = 1/3(-1+2x^3+x?)/x? = (2x^3+x?-1)/(3x?)

Pour factoriser 2x^3+x?-1, le seul moyen est de trouver une racine ?vidente (car on ne sait pas r?soudre autrement une ?quation du 3?me degr?).
Ici, pas de chance, pas de racines ?videntes (par racines ?videntes j'entends les premiers entiers, -3,-2,-1,0,1,2,3)

On passe donc ? la solution de rechange: on ?tudie la fonction g(x)=2x^3+x?-1 et on regarde l? o? elle s'annule avec un tableau de variation.
g'(x)=6x?+2x=2x(3x+1)
g est donc croissante sur ]-oo;-1/3]; d?croissante sur [-1/3;0]; puis croissante sur [0;+oo[
lim g(x) = -oo quand x->-oo
g(-1/3) = -26/27
g(0) = -1
lim g(x) = +oo quand x->+oo

g s'annule une seule fois. On applique le th?or?me des valeurs interm?diaires pour le prouver: on a g(0)=-1; g(1)=2 et g croissante sur [0;1] => il existe donc un r?el a appartenant ? [0;1] tel que g(a)=0
D'apr?s le tableau de variation, on a donc g(x)<0 sur ]-oo;a] et g(x)>0 sur [a;+oo[

Puis:
Signe de f'(x) = signe de g(x) car 3x? est toujours positif
=> f'(x) < 0 sur ]-oo;00;a] et f d?croissante
f'(x) > 0 sur [a;+oo[ et f croissante

Merci beaucoup,en effet j'avais oubli? 1/3!!!
J'ai une autre question ou je bloque : On d?signe par (C) la repr?sentation graphique de la fonction f dans un rep?re orthonormal d'unit? 3cm.On apelle I le point de (C) d'abscisse -1 et par J le point de (C) d'abscisse 1.
a/ v?rifier que (IJ) est la tangente ? (C) en J.
b/d?terminer une ?quation de la tangente T en I.Etudier la position de (C) par rapport a cette tangent T (indication : (a+b)^3=a^3+3a?b+3ab?+b^3))
c/montrer que (C) et la parabole (P) d'?quation y=1/3(x?+x) sont asymptotes
en +00 et - 00 puis ?tudier la position relative de (C) et (P)
d/construire le graphique avec les r?sultats pr?c?dent



Euh...c'est un ptit peu dure quand m?me :)