les suites ... ah lala

Bonjour

Bonne rentr?e ? tous !

Pour moi ?a commence avec un bel exercice sur les suites ... et j'ai d?j? quelques probl?mes . Vous pouvez m'aider ( pour la question 1 et 2)b;c)??

A tout r?el a , on associe la suite (Un) d?finie par :

u0 = a
pour tout n , un+1 = (668/669U)n +3

1) Pour quelle valeur de a la suite (Un) est -ell constante ?

La suite est constante lorsque U(n+1)=Un
alors U(N+1) = a et Un=a
=> a = 668/669*a + 3
=> a = 2007

2) Lorsque (Un) n'est pas constante , on consid?re la suite (Vn) d?finie pour tout n par :

Vn = Un-2007

a) Montrer que (Vn) est g?om?trique .

Vn+1= Un+1 -2007
Vn+1 = (668/669)Un+3 -2007
Vn+1 = (668/669) (Un -2004 * (668/669) )
Vn+1 = (668/669) (Un - 2007)
Vn+1 = 668 /669 * Vn

suite g?om?trique de raison q = 668 /669

Vn = V0 * q n
V0 = U0 -2007
V0 = a -2007

Vn = a-2007 * (668/669)n

b) En d?duire une expression du terme g?n?ral Un de la suite (Un) en fonction de n et de a . Etudier alors la convergence de la suite (Un)

Un = Vn+2007
Un = (a-2007)(668/669)n +2007

(668/669) n < 1
donc la limite en +infini = 0

je trouve alors lim en + infini de Un = 2007
elle n'est pas convergente ...
il y a un pb non ?

c) Exprimer en fonction de n et de a la somme

Sn = U0+u1 +u2 + ... +Un-1+Un
euh ... l? je s?che un peu ...

je trouve en fait a-2007) [ V0 * (1 - (668/669)n /1-(668/669) +(n+1)*2007)]

mais c'est impossible :
puis la derni?re question : d?terminer la limite de Sn/n
avec mon expression ,c'est un peu dur

Merci bcp!

Bonjour Gama et welcome back :)

2a) Petit souci dans ton expression, s?rement une erreur d'?criture
V(n+1) = 668/669 * (Un - 2004 * 669/668)

Remarque
Pour aller plus vite et sans faire de calcul, on peut aussi s'aider de la question 1 pour r?pondre. On a en effet prouver que 2007 = 668/669 * 2007 + 3
Donc V(n+1) = U(n+1) - 2007
= 668/669*Un + 3 - (668/669*2007 + 3)
= 668/669(Un-2007)
= 668/669 * Vn
Mais ce que tu as fait est tr?s bien aussi :)

2b) Premi?rement, "?tudier la convergence" veut dire r?pondre ? la question "est-elle convergente ou divergente?"
Deuxi?ment, ta suite est bien convergente.

Rappel
convergente <=> lim un = r avec r un r?el (0 , -455.56 ou pi par exemple)
divergente <=> lim un = + ou - infini

2c) Je pense que tu es parti(e) correctement mais tu as du t'emm?ler les pinceaux au milieu du calcul.
Sn = U0 + U1 + ... + Un
Sn = V0 + 2007 + V1 + 2007 + ... + Vn + 2007
Sn = V0 + V1 +... + Vn + 2007(n+1)

Comme (Vn) est g?om?trique, V0 + V1 + ... + Vn = V0 * (1 - q^(n+1))/(1-q) avec q la raison de la suite et V0 le 1er terme.

Sn = (a-2007) * [1 - (668/669)^(n+1)]/[1 - (668/669)] + 2007(n+1)
Sn = (a-2007)*669*[1 - (668/669)^(n+1)] + 2007(n+1)

Et donc Sn/n = (a-2007)*669*[1 - (668/669)^(n+1)]/n + 2007(n+1)/n = (a-2007)*669*[1 - (668/669)^(n+1)]/n + 2007 + 2007/n