Les suites ,pb

Bonjour

J'ai un probl?me pour les derni?re questions de cette exo , vous pourriez m'aider ?

Soit(Un) la suite d?finie par :

u0 = 1 et U n+1 = 1/2Un-2 pour tout n E IN .

1.D?montrer par r?currence que la suite (Un) est minor?e par -4
Initialisation :
U0 = 1 > -4 donc P(0) est v?rifi?e

H?r?dit? :

On suppose Un > -4 pour n fix? . On va montrer U(n+1)> -4

u(n+1) = un/2-2> (-4/2)-2
=Un/2-2> -4

donc la prorpi?t? est h?r?ditaire .

2.D?montrer que (Un) est d?croissante.
On fait U n+1-Un

un+1-un=un/2-4-un=-4-un/2
mais un>-4 donc-un/2>2
un+1-un-2<0 la suite est donc d?croissante

3.Soit(Vn) la suite d?finie par :

V0 = -6 et v n+1= 1/2Un-2 pour tout n E IN .

D?montrer par r?currence que la suite est major?e par -4 ,c'est la m?me chose ...

4.D?montrer que (Vn ) est croissante.

M?me m?thode

5. Soit (Wn) la suite d?finie par W (n+1)= U n-V n .
D?montrer par r?currence que la suite (Wn) est g?om?trique et d?terminer ses ?l?ments

l? c'est la catastrophe ,je n'y arrive pas du tout , on a pas Vn ,ni Un et je n'arrive pas ? le trouver ...

6.D?montrer (Un) et (Vn) sont adjacente .
Ok mais comment trouver l'expression de (Vn) et( Un) ?

Merci

Bonjour,

2) Petit probl?me de signe, mais ?a doit ?tre une erreur d'?criture:
un > -4 donc -un/2 < 2

3) Je suppose que c'est V(n+1)=Vn/2 -2, sinon ?a n'a pas beaucoup de sens...

5) Il faut essayer de trouver un r?el q tel que W(n+1) = q * W(n)
W(n+1) = U(n+1) - V(n+1)
= U(n)/2 - 2 - V(n)/2 + 2
= [U(n)-V(n)]/2
= Wn/2
=> (Wn) est g?om?trique de raison q = 1/2 et de premier terme W0 = U0-V0 = 7

6) On a pas besoin de conna?tre l'expression de Un et Vn pour prouver l'adjacence. Il suffit de montrer que:
- l'une est croissante => fait
- l'autre est d?croissante => fait
- la diff?rence des deux tend vers 0 => il reste donc ? prouver que lim Wn = 0, or comme Wn est g?om?trique on peut trouver son expression et donc sa limite.

il faudrait d?montrer par r?currence pour le 5) et c'est cela que je n'arrive pas ? faire :-?

Ah oui je n'avais pas vu ce d?tail. La question me semble tr?s ?trange.
W(n+1) = q*Wn est une d?finition de Wn par r?currence, car on se sert du terme pr?c?dent pour trouver le terme courant.

D'apr?s moi la question est mal pos?e, car on ne peut pas faire un raisonnement par r?currence "classique" pour r?pondre ? cette question.

Cas initial: W0 = W0 * q^0
H?ritage: si W(n) = q*W(n-1) alors W(n+1) = q*W(n)
C'est comme si on montrait que 2 = 2 !!!

On peut ?ventuellement montrer par r?currence que W(n) = 7*(1/2)^n, mais je ne vois pas comment tu pourrais supposer que la raison est 1/2 et que Wn s'exprime de cette fa?on.

Je pense que "par r?currence" fait r?f?rence aux d?finitions par r?currences des suites (Un) et (Vn) c'est ? dire U(n+1)=Un/2-2 et V(n+1)=Vn/2-2

pour la limite ne doit-on pas chercher L L = U(n+1) etc ...

Pour la limite, comme (Wn) est g?om?trique, tu peux donner une expression de Wn en fonction de n (? l'aide de la raison et du 1er terme).
Ensuite il ne reste plus qu'? calculer la limite quand n->infini

oui je comprends ... je vais essayer

merci ! ;-)