Les suites (gros soucis!)

Voici un exercie qui me pose pb , voulz-vous m'aider s'il vous pla?t ??

Soit u la suite d?finie sur IN par U0 = 3/5
U n+1 = (Un-3)/6

Soit v la suite d?finie sur IN par vn = 5un+3

1) Montrer que la suite v est une suite g?om?trique de raison 1 /6 et de terme initial u0= 6

vn+1 = 5un+1 +3

je trouve alors (5un-15+18) /+6 = 1/6(5un+3) =1/6vn

dc suite g?om?trique de raison 1/6 de premier terme 6

2)Exprimer vn ,puis un en fonction de n

vn = 6(1/6)n
un = (vn-3)/5 =( 6*(1/6)n -3) /5

3)l? je suis perdu

Justifier que la suite v converge et pr?cider sa limite

comment le montrer ? Pour la limite je trouve z?ro

4)En d?duire que la suite u converge et pr?ciser sa limite

l? je sais pas non plus ... pour la limite je trouve 3/5

5)Aussi je bloque

Pour tout n de IN on pose Sn = u0=u1,...un

a)Exprimer Sn en fonction de n ???
c'est impossible ,enfin on ne sait pas si c'est une suite g?om?trique ou pas ...ni combien il y a de terme ...

b)Montrer que la suite Sn divere vers -infini

bon voil? quoi

- Merci bcp !

Bonjour,

1) Il faut aussi justifier que v0 = 6
v0 = 5u0 + 3 = 6
Le reste est ok.

2) Ok mais on peut simplifier l'?criture.
vn = 6(1/6)^n = 1/6^(n-1)
Et donc un = 1/5[1/6^(n-1) - 3]

3) vn est du type a^n avec |a|<1 (a=1/6)
Donc (vn) converge en +oo et sa limite vaut 0

4) Comme un = (vn-3)/5 et comme (vn) est convergente, alors (un) est convergente aussi et lim un = (lim vn - 3)/5 = -3/5

5a) On sait additionner les termes d'une suite arithm?tique et d'une suite g?om?trique, donc il faut se ramener ? cela.
Sn = u0 + u1 + u2 + ... + un
= (v0-3)/5 + (v1-3)/5 + ... + (vn-3)/5
= v0/5 + v1/5 + ... + vn/5 - 3/5 - 3/5 ... - 3/5
= 1/5(v0 + v1 + ... + vn) - 3/5*(n+1)

v0 + v1 + ... + vn est la somme des (n+1) premiers termes d'une suite g?om?trique de raison 1/6 et de 1er terme 6
=> v0 + v1 + ... + vn = 6 * [1 - 1/6^(n+1)]/[1 - 1/6] = 36(1 - 1/6^(n+1))/5 = (36 - 1/6^(n-1))/5

Et Sn = (36 - 1/6^(n-1))/25 - 3(n+1)/5
= [36 - 1/6^(n-1) - 15(n+1)]/25
= (36 - 1/6^(n-1) - 15n - 15)/25
= (21 - 15n - 1/6^(n-1))/25

5b) lim 1/6^(n-1) = 0 car 1/6 < 1
n->+oo

Donc:
lim 21-15n-1/6^(n-1) = -oo
n->+oo

Alors lim Sn = -oo quand n->+oo

Plus simplement, on peut aussi remarquer que un < 0 quelque soit n. Et additionner une infinit? de termes n?gatifs donne quelquechose qui tend vers -oo, donc Sn tend vers -oo.