logarithme et exponentielle

Je me suis engagé, un peu légèrement, à aider une étudiante pour ses examens de Noël. A 53 ans, mes études en latin-mathématiques m'apparaissent bien lointaines, même si j'ai régulièrement aidé des étudiants plus jeunes.

Son cours n'est pas un modèle du genre et je suis bloqué.
Elle a une série de 22 exercices et il me semble que si je disposais de quelques exemples résolus (pas un seul fait en classe !!) je pourrais peut-être m'en sortir.

Je vous en soumets cinq qui me semblent représentatifs.

1) 9.9^x - 3^x+2 = 54

2) 2^2x - 5.2^x + 5.2^-x+2 - 4^2-x = 0

3) 3^x+1 + 3^x+2 - 15/3^x-1 = 247/3^x-2

4) e^2x+1 - e^x+3 - e^x + e² = 0

5) un système à 2 équations et 2 inconnues

3^{2x + 3y} = 2187
4^{3x - 2y} = 256


Toute collaboration, même partielle, sera énormément appréciée.

Je vous en remercie tous d'avance.

Philou4130.

Bonsoir,

Une fois compris, ces exercices sont, selon moi, surtout fastidieux...

Le plus "facile": le dernier:

En factorisant 2187 et 256, on arrive au système:

3^(2x+3y) = 3^7
4^(3x-2y) = 2^8 = 4^4

Ce qui conduit au système "ordinaire":

2x+3y = 7
3x-2y = 4

Avec pour résultat: x = 2 et y = 1

Pour le premier exercice, on a:

9.9^x - 3^(x+2) = 54 = 9.6 et donc:
9.9^x - 9.3^x = 9.6 (puisque 3^(x+2) = (3^x).3² ) Et en simplifiant par 9, il vient:
9^x - 3^x = 6 ou encore:
(3²)^x - 3^x = 6
3^(2x) - 3^x = 6

Et on "voit" que x = 1. Plus formellement, pour arriver à ce résultat, on pose 3^x = a. L'équation devient:

a² - a - 6 = 0
Ce qui donne a = 3 ou a = -2
Comme a = 3^x est toujours > 0, la solution est a = 3. Donc:

3^x = 3 Donc ln(3^x) = 3, donc x.ln(3) = ln(3) et x=1

Pour le deuxième exercice:

Le procédé est le même: on pose a = 2^x, ce qui conduit à:

a² - 5a + 5.4. a^(-1) - 16a^(-1) = 0 (Aie! J'ai fait une faute: voir plus loin...)
a² - 5a + 4a^(-1) = 0
Comme a > 0, on peut multiplier l'expression par a, et donc:

a³ - 5a² + 4 = 0 Le trinôme s'annule pour a = 1, il est donc divisible par (a-1), et donc a³ - 5a +4 = (a² - 4a -4)(a-1)
La première parenthèse a deux racines: 2 + 2RAC(2) et 2 - 2RAC(2) avec RAC = racine carrée. La deuxième solution est à exclure (car négative)
Donc:

a = 1 donne: 2^x = 1 et x = 0
a = 2 + 2RAC(2) et 2^x = 2 + 2RAC(2) ce qui donne x en passant au logarithme cette dernière égalité.

J'espère que tout est maintenant clair.
Au besoin, je peux continuer à résoudre les 2 dernières, qui se résolvent de ma même, façon.
JP



Modifié 5 fois. Dernière modification le 04/12/11 23:13 par JP.

PS.
En relisant l'exercice 2, je me demande si je n'ai pas fait une faute de calcul.... Je reverrai cela plus tard. Désolé!

En effet, il y a erreur...

En posant a = 2^x, on a:


2^(2x) - 5.2x + 5.2^(-x+2) - 16.2^(-2x) = 0

a² - 5a + 5.4.a^(-1) - 16a^(-2) = 0
a² - 5a + 20 a^(-1) - 16 a^(-2) = 0 et en multipliant par a², on a:
a^4 - 5 a³ + 20 a -16 = 0 = (a-1)(a-2)(a-4)(a+2)

On a ainsi les3 solutions:

1 = a, donc 2^(x) = 1 et x = 0
2 = a, donc 2^(x) = 2 et x = 1
4 = a, donc 2^(x) = 2 et x = 2
(-2= a, donc 2^(x) = - 2 ce qui n'est pas possible avec x réel)

Voilà, j'espère ne plus avoir fait de fautes.... Désolé.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 04/12/11 22:41 par JP.

Bonsoir JP,

Je voudrais vous remercier de vos réponses.
Je me suis absenté ce soir, mais je regarde cela demain avec la plus grande attention.

Un grand merci. Il me semble avoir compris le premier et le deuxième. J'ai donc essayé le troisième.

3^x.3 + 3^x.3² - 15.3^-x.3 - 247.3^-x.3² = 0

Je divise par 3 et j'obtiens :

3^x + 3^x.3 - 15.3^-x - 247.3^-x.3 = 0

j'agglomère :

4.3^x - 756.3^-x = 0

Je pose a = 3^x et j'obtiens :

4a - 756 a^-1 = 0 que je divise par 4 et j'ai : a - 189.a^-1 = 0

Je multiplie ce dernier résultat par a et j'obtiens : a² - 189 = 0 et donc a² = 189

et a = RAC(racine carrée) 189

et donc xln3 = lnRAC189

et x = lnRAC189/ln3


La complexité du résultat m'étonne, j'ai du faire une erreur quelque part. (mais je ne la vois pas).

Quant au cinq, c'est vrai qu'il était le plus simple, encore fallait-il avoir le réflexe, que vous avez eu, de factoriser.

Merci encore, j'essaye le 4) plus tard et je poste le résultat de mon travail.

Bonsoir,

C'est vrai que la réponse semble bizarre, mais j'obtiens la même chose, et pasée à la calculatrice scientifique, la solution se révèle correcte..

Pour écrire cela de façon plus "jolie", on peut éventuellement écrire:

x = lnRAC189/ln3 = ln(3³.7)/(2ln3) = [3ln3 + ln7]/(2ln3) = (3 + (ln7)/ln(3) ]/2

Pour la quatrième, je trouve un résultat plus "présentable": x=-1 et x= 2

Bonne soirée.

Bonsoir JP.

Merci d'avoir confirmé le développement que j'avais effectué.

Pour le 4), la réponse est en effet plus "crédible" dirons nous.

J'ai trouvé aussi la solution, il est vrai qu'une fois le procédé acquis, il suffit d'avoir de la rigueur.

Ainsi, je pose e^x = a et j'obtiens :

a².e - a(e³+1) + e² = 0

Mon delta est égal à (e³-1)²

Et mes racines e² et e^-1

Je vous remercie de votre disponibilité et posterai peut-être encore dans les prochains jours si je rencontre l'un ou l'autre problème.
En effet, je commence seulement à redécouvrir la matière.


Bonne journée à vous Philou4130