Dans tout ce qui suit, on rapporte le plan orienté à un repère orthonormal direct (O,,). L'ensemble des vecteurs du plan est noté V.

Définition

Soit I un intervalle de , f et g deux fonctions définies et dérivables sur I et à valeur dans .

Soit une courbe du plan définie sur I par :

Le vecteur 0(f '(t0) ; g'(t0)) est le vecteur tangent à au point de paramètre t0.

Définition

Lorsque au point de paramètre t0 le vecteur tangent est non nul, la droite (T) qui passe par M(t0) et de vecteur directeur 0 est la tangente à la courbe paramétrée au point t0.

Remarque :

D'une manière générale, pour étudier ou tracer une courbe paramétrée, il n'est pas nécesaire de connaître l'équation de la tangente : le vecteur tangent suffit. Si on souhaite connaître l'équation de la tangente, le mieux est d'établir une équation paramétrée de la droite. On sait qu'elle passe par la point M0(f(t0);g(t0)) et que le vecteur directeur est 0(f(t0);g(t0)) donc un système d'équations paramétriques de cette tangente est :

On élimine ensuite le paramètre t et on obtient une équation cartésienne de (T).

Exemples :

cf. méthodes pour les courbes paramétrées

Pour retrouver les propriétés suivantes, il est fortement recommandé de faire un schéma, le par-coeur pouvant être source d'erreur ou de confusion.

Soit I un intervalle de et f et g deux fonctions définies sur I et à valeur dans . Dans toute la suite, on définit une courbe paramétrée par le système d'équations suivant :

a. Symétries

Dans tout le paragraphe, on suppose que l'intervalle I est symétrique, c'est-à-dire que si t appartient à I, alors -t appartient à I :

Propriété

Si pour tout t appartenant à I, on a  f(-t) = f(t)  et  g(-t) = -g(t) , alors la courbe est symétrique par rapport à l'axe des abscisses (O,) (axe horizontal !).

On peut alors réduire de moitié l'intervalle d'étude et étudier la courbe pour les valeur positives (ou négatives) du paramètre, puis compléter la courbe par symétrie par rapport à l'axe (O,).

Propriété

Si pour tout t appartenant à I, on a  f(-t) = -f(t)  et  g(-t) = g(t) , alors la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (O,) (axe vertical !).

On peut alors réduire de moitié l'intervalle d'étude et étudier la courbe pour les valeur positives (ou négatives) du paramètre, puis compléter la courbe par symétrie par rapport à l'axe (O,).

Propriété

Si pour tout t appartenant à I, on a  f(-t) = -f(t)  et  g(-t) = -g(t) , alors la courbe est symétrique par rapport au point O (origine du repère).

On peut alors réduire de moitié l'intervalle d'étude et étudier la courbe pour les valeur positives (ou négatives) du paramètre, puis compléter la courbe par symétrie centrale de centre O.

b. Périodicité

Définition

Soit une fonction P définie de dans . On dit que la fonction P est périodique de période T, s'il existe un réel T tel que pour tout x de , on a :

P(x+T) = P(x)

Remarque :

Si la fonction P est périodique de période T, alors 2T, 3T, 4T, ... , kT (avec k ) sont des périodes de P.

En effet, pour tout x de , on a :

P(x+kT) = P(x+(k-1)T + T) = P(x+(k-1)T) = ... = P(x+3T) = P(x+2T) = P(x+T) = P(x)

Propriété

Soit une courbe paramétrée définie par le système d'équations paramétriques suivant :

Si les fonctions f et g admettent une même période T, alors l'étude de la courbe peut être réduite à une étude sur un intervalle du type [t0;t0+T]