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Bac S 1999 Paris (Juin 99)
Exercice
1 (5 points) Corrigé
Le plan (P) est rapporté au repère orthonormal
direct : (O;
,
) .
On prendra 4 cm comme unité sur les deux axes.
On considère l’application F du plan dans lui-même
qui, à tout point m, d’affixe z, associe le point M d’affixe (z2-z)/2 .
L’objet de cet exercice est de tracer la courbe (G) décrite par M lorsque m
décrit le cercle (C) de centre O et de rayon l.
Soit t un réel de [-p; p] et m le point de (C) d’affixe z = eit.
1. Montrer que l’image M de m par F est le point de
coordonnées : (0,5 point)
Ces relations constituent une représentation paramétrique
de la courbe (G).
2. Comparer x(-t) et x(t) d’une part, y(-t) et y(t)
d’autre part. (0,5 point ; 0,5
point)
En déduire que (G) admet un axe de symétrie que l’on
précisera. (0,5 point)
3. Montrer que x'(t) = sin t [1 - 2cos(t)] .
Étudier les variations de x sur [0 ; p]. (0,75 point)
4. Montrer que y'(t) = (cos(t) - 1) (1 + 2cos(t)).
Étudier les variations de y sur [0 ; p]. (0,75 point)
5. Dans un même tableau faire figurer les variations
de x et y sur [0 ; p]. (0,5
point)
6. Placer les points de (G) correspondant aux valeurs
0 , p/3 , 2p/3 et p du paramètre t et tracer les tangentes en
ces points (on admettra que pour t = 0 la tangente à (G) est horizontale). Tracer
la partie de (G) obtenue lorsque t décrit [0 ; p] puis tracer (G) complètement. (1 point)
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