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Correction du sujet : Bac S 1999 Paris
(Juin 99)
Exercice
1 (5 points) Énoncé
Ce sujet nécessite de connaître les points suivants
du cours :
Le plan (P) est rapporté au repère
orthonormal direct (O;
,
). On
prendra 4 cm comme unité sur les deux axes.
On considère l’application F du plan dans
lui-même qui, à tout point m, d’affixe z, associe le point M d’affixe (z2-z)/2 .
L’objet de cet exercice est de tracer la
courbe G décrite par M lorsque m décrit le cercle
(C) de centre O et de rayon l.
Soit t un réel de [-p; p] et m le point
de (C) d’affixe z = eit.
1. Montrer que
l’image M de m par F est le point de coordonnées : (0,5 point)
Ces relations constituent une
représentation paramétrique de la courbe (G).
Soit z l’affixe du point m.
m décrit le cercle C de centre O et de rayon 1,
donc | z | = 1 et on peut écrire : z = eit
= cos t + i sin t avec t Î [-p; p].
L’image M de m par la transformation F a donc pour
affixe :
On obtient alors les coordonnées de M en prenant les
parties réelles et imaginaires de Z , d'où :
2. Comparer x(-t) et x(t) d’une part, y(-t)
et y(t) d’autre part. (0,5 point; 0,5
point)
En déduire que (G) admet un axe de
symétrie que l’on précisera. (0,5
point)
On appelle G paramétrée la courbe décrite par M.
Montrons qu’elle admet un axe de symétrie.
Comme le suggère l’énoncé, calculons xZ(-t) et yZ(-t) : (on rappelle que
pour tout t appartenant à R ,
cos(-t) = cos(t) et sin(-t) = sin(t) .)
On constate immédiatement que, pour tout t Î [-p; p] , quand t devient –t , M(-t) est le
symétrique de M(t) par rapport à (Ox) (car seule l'abscisse conserve le même
signe),
donc la courbe G admet l’axe (Ox) pour axe de
symétrie.
3. Montrer que x'(t) = sin t (1 - 2 cos
t).
Étudier les variations de x sur [0 ;
p]. (0,75 point)
Pour tout réel t de [-p; p],
x(t) = (1/2)cos(2t) - cos(t) et
on rappelle que pour tout t de R la dérivée de cos(at) est égale à -a sin(at) , donc :
Or par les formules du
cours, on sait que sin(2t) = 2cos(t)sin(t) ,
donc x'(t)
= - 2cos(t)sin(t) +sin(t), et en factorisant par sin(t) , on obtient alors :
pour tout réel t de [-p; p], x'(t) = sin t (1 - 2 cos t) .
Pour connaître les variations de x sur [0; p], étudions le signe de sa dérivée x' : pour cela
nous allons étudier le signe de chacun des facteurs :
�. sin(t) s'annule sur [0; p] pour t = 0
et t = p .
�. 1 - 2cos(t) = 0 Û cos(t) = 1/2 Û t =
p sur
[0; p].
On déduit de ces résultats le tableau de signe
suivant duquel découle les variations de x :
A partir du signe de x'(t) , on déduit que la
fonction x est décroissante sur [0; p/3], et croissante sur [p/3; p].
4. Montrer que y'(t) = (cos t - 1) (1 + 2
cos t).
Étudier les variations de y sur [0 ; p]. (0,75 point)
Pour tout réel t de [-p; p],
y(t) = (1/2)sin(2t) - sin(t) et
on rappelle que pour tout x de R la dérivée de cos(ax) est égale à a sin(ax) , donc :
Or par les formules du
cours, on sait que cos(2t) = 2 cos²(t) - 1
,
Donc
y'(t) = 2 cos²(t) - 1 - cos(t)
=
2 cos²(t) - 2 cos(t) + 2 cos(t) - cos(t) - 1 (on fait apparaître une expression qui est en fait nulle pour
pouvoir factoriser ensuite)
=
2 cos²(t) - 2 cos(t) + cos(t) - 1
=
2 cos(t) (cos(t) - 1) + cos(t) - 1
=
(cos(t) -1) (2 cos(t) + 1)
d'où
y'(t) = (cos(t) -1) (2 cos(t) + 1)
.
Etudions le signe de y'(t) :
�. cos(t) - 1 = 0 Û cos(t) = 1 Û t =
0 ,
sur [0; p] .
�. 2 cos(t) + 1 = 0 Û cos(t) = - 1/2 Û t =
2p/3
, sur [0; p] .
On déduit de ces résultats le tableau de signe
suivant duquel découle les variations de y :
A partir du signe de y'(t), on déduit que la
fonction y est décroissante sur [0; 2p/3], et croissante sur [2p/3; p] .
5. Dans un même tableau faire figurer
les variations de x et y sur [0 ; p]. (0,5 point)
A partir des résultats sur les variations de x et y
(cf. questions 3. et 4. ), on obtient le tableau de
variation suivant :
6. Placer les points de (G)
correspondant aux valeurs 0 , p/3 , 2p/3 et p du paramètre t et tracer les tangentes en ces points (on
admettra que
pour t = 0 la tangente à (G) est
horizontale). Tracer la partie de (G) obtenue lorsque t décrit [0 ; p] puis tracer (G)
complètement. (1 point)
Chaque point de G correspondant au paramètre t a pour
coordonnées ( x(t) , y(t) ) ,
donc les coordonnées des points correspondant
aux valeurs 0 , p/3 , 2p/3 et p sont respectivement : (cf.
valeur du tableau de variations)
Chaque vecteur directeur de la tangente à la courbe G au point de paramètre t est
de la forme ( x'(t), y'(t) ) ,
donc les coordonnées des vecteurs directeurs des
tangentes correspondant aux valeurs 0 , p/3 , 2p/3 et p sont respectivement : (cf.
valeur des tableaux de signe)
A partir de ces résultats on peut tracer la moitié de
la courbe G correspondant à l'intervalle [0 ; p] , puis on obtient la
deuxième moitié de G par symétrie par rapport à l'axe (Ox)
(cf. question 2. ) . Conformément à l'énoncé, on admet que pour t
= 0 , la tangente à G est horizontale.
La courbe (G) est une cardioïde.
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