Bac S 1999     Maroc  (Juin 99)

Exercice 2  (5 points)                                                                       Corrigé

 

 

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal   (O ;  ; )   A , A’ , B , B’ sont les points d’affixes respectives   1 , -1 , i , -i .

 

À tout point M d’affixe z , distinct des points O, A, A', B et B', on associe les points M1 et M2 d’affixes respectives z1 et z2, tels que les triangles BMM1 et AMM2 soient rectangles et isocèles avec :

 

Voir la figure sur l’annexe 1, qui sera complétée et rendue avec la copie.

 

1. a. Justifier les égalités     z - z1 = i (i - z1)     et     - z2 = i (z - z2)   . (0,5 point)

 

1. b. Vérifier que z1 et z2 peuvent s’écrire : (0,5 point)

 

2. On se propose dans cette question de déterminer les points M pour lesquels le triangle OM1M2 est équilatéral.

2. a. Montrer que : OM1 = OM2 équivaut à    | z + 1 | = | z + i |   . (1 point)

En déduire l’ensemble (D) des points M tels que OM1 = OM2 et tracer (D) sur la figure. (0,5 point)

 

2. b. Montrer que : OM1 = M1M2 équivaut à     | z + 1 |² = 2 | z |²   .   (0,5 point)

 

2. c. En déduire l’ensemble (G) des points M du plan pour lesquels OM1 = M1M2 . (0,5 point)

On pourra montrer que     | z + 1 |² = 2 | z |²     équivaut à     | z – 1 |² = 2   . Tracer (G) sur la figure. (0,5 point)

 

2. d. En déduire les deux points M pour lesquels OM1M2 est un triangle équilatéral et les placer sur la figure. (1 point)

 

 

Annexe 1

 

 

 

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