Bac S 1999     Inde  (Juin 99)

Problème  (11 points)                                                                       Corrigé

 

 

Soit la fonction numérique f définie sur ]0 ; +¥[ par

 

Partie A :   Recherche graphique d’un extremum

 

L’observation de la courbe représentative de la fonction f sur l’écran graphique d’une calculatrice donne à penser que f admet un minimum sur l’intervalle [0,5 ; 2].

 

On se propose d’en donner une valeur approchée.

 

Observer ci-dessous la représentation graphique de la fonction f ’ , dérivée de f , sur l’intervalle [0,5 ; 2].

 

 

Quels sont les éléments graphiques concernant f ’ qui vont dans le sens de l’existence d’un minimum de f sur [0,5 ; 2] ? (0,5 point)

 

À l’aide de ce graphique, donner un encadrement d’amplitude 0,2 de l’abscisse de ce minimum. (0,25 point)

 

 

Partie B :   Étude de la fonction f

 

On considère la fonction h définie sur [0 ; +¥[ par   h(x) = xex - 2ex + 2  .

 

1. Déterminer les variations de h (on précisera h(0) mais la limite en +¥ n’est pas demandée). (0,5 point)

 

2. Déterminer le signe de  h(3/2) . (0,25 point)

En déduire qu’il existe un unique réel a appartenant à l’intervalle  [3/2 ; 2]  tel que h(a) = 0 . (0,5 point)

En déduire le signe de h sur [0 ; +¥[ . (0,5 point)

 

3. Étude de la fonction f

3. a. Calculer les limites de f aux bornes de l’intervalle ]0 ; +¥[. (1 point)

 

3. b. Montrer que, pour tout nombre x strictement positif :  (0,5 point)

 

En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variation. (1 point)

 

3. c. Montrer que  f(a) = -1/[a(a-2)]  et en déduire le signe de f(a) . (0,5 point ; 0,5 point)

 

 

Partie C :   Recherche d’un encadrement de la valeur a

 

1. Démontrer que, sur [0 ; + ¥[ , l’équation h(x) = 0 équivaut à   2(1-e-x) = x  . (0,5 point)

 

2. Soit la fonction g définie sur [0 ; + ¥[ par g(x) = 2(1-e-x)  . On pose I = [3/2 ; 2] .

Montrer que, pour tout x de l’intervalle I ,  |g'(x)| £ 1/2  . (0,5 point)

 

3. Soit la suite (xn)n > 1 définie pour tout entier n ³ 1 par :

On admet que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 , xn appartient à I.

 

3. a. Démontrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :  (1 point)

En déduire que la suite (xn) converge vers a. (0,5 point)

 

3. b. Déterminer un entier p tel que xp soit une valeur approchée à 10-3 près du nombre réel a .  (0,5 point)

Donner une valeur approchée de xp avec trois décimales. (0,5 point)

 

 

Partie D :   Quelques propriétés d’une primitive de f

 

On appelle F la primitive de f sur ]0 ; +¥[ qui s’annule en 1. Ainsi l’on a, pour tout réel x de ]0 ; +¥[ :

.

 

1. Étudier le sens de variation de F sur ]0 ; +¥[ . (0,5 point)

 

2. Démontrer que, pour tout x supérieur ou égal à 2 :  (0,5 point)

.

 

Par comparaison de limites, et en utilisant la relation de Chasles, en déduire   lim x®+¥ F(x)  . (0,5 point)

 

 

copyright © School Angels 2000