Correction du sujet :      Bac S 1999  Asie (Juin 99)

                                   Exercice 1  (4 points)                                                           Enoncé

 

            1. a.     1. b.     2. a.     2. b.     3. a.     3. b.

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

 

 

Voici le tableau de répartition des principaux groupes sanguins des habitants de la France :

 

 

O

A

B

AB

Rhésus +

35,0 %

38,1 %

6,2 %

2,8 %

Rhésus -

9,0 %

7,2 %

1,2 %

0,5 %

 

Dans cet exercice, les résultats numériques demandés seront, s’il y a lieu, arrondis à 3 décimales.

 

1. L’objectif de cette question est de compléter à l’aide de données de ce tableau l’arbre suivant, à recopier sur la copie.

 

 

 

L’expérience consiste à choisir une personne au hasard dans la population donnée (les habitants de la France).

On note Rh + l’événement “ La personne a le facteur Rh + ”.

On note O l’événement “ La personne appartient au groupe O ”.

 

1. a. Déterminer la probabilité p1, c’est-à-dire p(Rh +).

On détaillera le calcul effectué puis on reportera ce résultat dans l’arbre. (0,5 point)

Déterminer de même la probabilité p2 (en détaillant les calculs). (0,5 point)

 

Soit p1 la probabilité de l’événement Rh+.

 

Les événements O, A, B et AB sont deux à deux incompatibles et forment une partition de l’univers considéré (la population française).

 

En effet :

 

Nous avons donc, d’après la formule des probabilités totales :

 

p1 = p(Rh+ÇO) + p(Rh+ÇA) + p(Rh+ÇB) + p(Rh+ÇAB)

 

et par le tableau de répartition on a :

 

·         p(Rh+ÇO) = 35/100

·         p(Rh+ÇA) = 38,1/100

·         p(Rh+ÇB) = 6,2/100

·         p(Rh+ÇAB) = 2,8/100

 

d'où :    p1 =  35/100  +  38,1/100  +  6,2/100  +  2,8/100  =  82,1/100

 

p1 =  0,821

 

La probabilité qu’une personne soit de rhésus Rh+ est donc égale à 0,821.

 

La probabilité p2 est définie par :            p2 = p(O/Rh+) = p(O ÇRh+) / p(Rh+)  =  0,35/0,821  .

 

p2 = 0,426   (à 10-3 près).

 

La probabilité qu’une personne de facteur Rh+ soit du groupe O est égale à 0,426 à 10-3 près.

 

 

1. b. Compléter le reste de l’arbre, en remplaçant chaque point d’interrogation par la probabilité correspondante (il est inutile de détailler les nouveaux calculs).   (0,5 point)

 

Les calculs détaillés ne sont pas demandés, mais ils sont donnés ci-dessous par souci pédagogique.

 

Une personne possède toujours un facteur Rhésus et il est impossible d'avoir les deux en même temps,

 

donc les événements Rh+ et Rh– forment une partition de l’univers considéré,

 

donc     P(Rh+) + P(Rh-) = 1

 

            0,821 + P(Rh-) = 1

 

d’où     p(Rh-) = 0,179  .

 

Nous avons

 

 

Comme les événements O, A, B et AB sont deux à deux incompatibles et forment une partition de l’univers considéré (cf. question 1) ,

 

on a      p(O/Rh+) + p(A/Rh+) + p(B/Rh+) + p(AB/Rh+) = 1

 

0,426 + 0,464 + 0,076 + p(AB/Rh+) = 1

 

            p(AB/Rh+) = 0,034  .

 

En procédant exactement de la même manière on obtient les probabilités de la branche "Rh-" .

 


 

 

2. a. Comment peut-on, à partir de l’arbre complété, déterminer la probabilité de O ? (0,5 point)

Vérifier ce résultat à partir du tableau. (0,25 point)

 

On a     p(O) = p(O ÇRh+) + p(O ÇRh-)

 

Or        p(O ÇRh+) = p(O/Rh+) p(Rh+)   et   p(O ÇRh-) = p(O/Rh-) p(Rh-)  ,

 

D'où :   p(O) = p(O/Rh+) p(Rh+) + p(O/Rh-) p(Rh-)  ,

 

donc la probabilité de O se calcule à partir de l’arbre en additionnant les produits de probabilité issus des branches O :

 

p(O) = 0,426 ´ 0,821 + 0,503 ´ 0,179

 

d'où :    p(O) = 0,440 à 10-3 près.

 

Avec le tableau, on pouvait établir directement que :

 

p(O) = 35/100  +  9/100  =  44/100 ,

 

d'où :    p(O) = 0,440 .

 

 

2. b. Quelle est la probabilité pour qu’une personne appartenant au groupe O ait le facteur Rh + ? (0,5 point)

 

La probabilité qu’une personne appartenant au groupe O ait le facteur rhésus Rh+ est  p(Rh+/O)  :

 

p(Rh+/O) = p(Rh+ÇO) / p(O) = 0,35 / 0,44  .

 

d'où :    p(Rh+/O) = 0,795 à 10-3 près.

 

donc la probabilité qu’une personne du groupe O ait le facteur Rh+ est égale à 0,795 à 10-3 près.

 

 

3. a. On considère n personnes choisies au hasard dans la population donnée (les habitants de la France).

Calculer, en fonction de n, la probabilité p pour qu’il y ait, parmi elles, au moins une personne du groupe O. (0,5 point)

 

"Au moins une des n personnes est du groupe O"  est l’événement contraire de  "Aucune des n personnes n’est du groupe O".

 

La probabilité qu’aucune des n personnes choisies ne soit du groupe O est :   (1 - p(O))n = (0,56)n

 

On en déduit que la probabilité P de l'événement "Au moins une des n personnes est du groupe O"  est :

 

P = 1 - (0,56)n.

 

 

3. b. Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle on a P ³ 0,999. (0,75 point)

 

   P ³ 0,999       ó        1 - (0,56)n ³ 0,999

 

            ó        (0,56)n £ 0,001

 

            ó        ln (0,56 n) £ ln(0,001)    (car la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +¥[ )

 

            ó        n ln(0,56) £ ln 0,001

 

            ó        n ³  [ln(0,001) / ln(0,56)]           (car ln(0,56) < 0 puisque 0,56 < 1).

 

Or ln(0,001) / ln(0,56) = 11,9   à 10-1 près.

 

Il faut donc choisir au moins 12 personnes pour que la probabilité P soit supérieure à 0,999 .

 

 

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