Correction
du sujet : Bac S 1999 Amérique du Nord (Juin 99)
Exercice
2 (5 points) Énoncé
1. a. 1. b. 1. c. 2. a. 2. b. 2. c.
Ce
sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :
- nombres complexes
- applications
géométriques des nombres complexes
Le plan orienté est rapporté au repère
orthonormal direct (O;u,v) , l’unité graphique étant 4 cm. On considère les
points A0, A1, d’affixes respectives : a0 = l ;
a1 = ei(p/12) .
Le point A2 est l’image du
point A1 par la rotation r de centre O et d’angle p/12 .
1. a. Calculer
l’affixe a2 du point A2 sous forme exponentielle puis
sous forme algébrique. (1 point)
A0
et A1 sont les points d’affixes respectives a0 = 1 et a1 = eip/12 .
À
tout point M d’affixe z, la rotation
r associe le point M¢ d’affixe z¢ définie par z¢ = eip/12 z ,
donc
:
L’expression
algébrique de a2 est donc a2
= cos(p/6) + i sin(p/6) ,
d'où
:
1. b. Soit I le
milieu du segment [A0 A2]. Calculer l’affixe du
point I. (0,5 point)
Soit
zI l’affixe de I .
Comme
I est le milieu de [A0 A2]
, on a :
1. c. Faire une
figure. (1 point)
2. a. Prouver que les droites (OI) et (OA1)
sont confondues. (1 point)
Or on a :
donc
ces deux vecteurs sont colinéaires et comme ils ont un point en commun (le
point O).
On
en déduit que les droites (OI) et (OA1) sont confondues.
2. b. Écrire sous forme trigonométrique
l’affixe de I. (0,5 point)
Par
la question précédente, on peut tout de suite écrire que l'affixe de I est :
2. c. Déterminer cos (p/12) et
sin (p/12)
(les valeurs exactes sont exigées), sachant que : (1 point)
Des
questions précédentes où nous avions exprimé l'affixe de I de deux manières
différentes, on déduit :
On
a cos(p/12) > 0 , car p/12 appartient à [ 0 ; p/2 ] , donc :
Puis
on calcule sin(p/12) : (on pourra noter
l'utilisation de la quantité conjuguée, qui permet d'éliminer la forme rationnelle
au dénominateur)
Les
expressions de cos(p/12) et sin(p/12) sont
donc :
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