Correction du sujet :      Bac S 1999     Antilles - Guyane (Juin 99)

Exercice 2  (6 points)                                                           Enoncé

 

1.         2.         3.         4.

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

 

 

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct  (O;,) .

On considère le point A d’affixe 1 et, pour tout q appartenant à [0 ; 2p[, le point M d’affixe z = eiq.

On désigne par P le point d’affixe  1+z   et par Q le point d’affixe  z2 .

 

1. À partir du point M, donner une construction géométrique du point P et une construction géométrique du point Q. Les points O, A, M, P et Q seront placés sur une même figure. (1 point)

 

 

donc on passe de M à P en augmentant la partie réelle de l'affixe de M d'une unité,

 

donc on obtient le point P à partir du point M en faisant une translation de vecteur (1,0) ,

 

donc P est l'image de M par la translation de vecteur  .

 

 

Or z = eiq  ,

 

donc  zQ = z2 = ei2q = eiq zM   ,

 

donc le point Q est l’image du point M dans la rotation de centre O et d’angle q  (car   zQ = eiq zM  ) .

 

 

 

2. Déterminer l’ensemble des points P, pour q appartenant à [0 ; 2p[. (1 point)

Tracer cet ensemble sur la figure précédente. (0,5 point)

 

Nous pouvons procéder suivant deux méthodes différentes : la première est géométrique, la seconde analytique :

 

1ère méthode :

 

On sait que zM = eiq  ,

 

donc quand q décrit l'intervalle [0 ; 2p[  , le point M décrit un cercle  .

 

On sait que l'on obtient le point P par une translation de vecteur  ,

 

donc l'ensemble des points P quand q décrit l'intervalle [0 ; 2p[ est l'image par la translation de vecteur  du cercle décrit par M .

 

L'image d'un cercle C de centre O et de rayon R par une translation est un autre cercle, de même rayon R, dont le centre O' est l'image de O par cette translation,

 

donc l'ensemble des points P quand q décrit l'intervalle [0 ; 2p[ est le cercle (C’) de rayon 1 et de centre A  .

 

2ème méthode :

 

Pour q appartenant à [0 ; 2p], nous avons :

 

zP = 1 + eiq = 1 + cos q + i.sin q   .

 

Le point P a donc pour coordonnées :

 

 

d'où :

 

 

Par la relation fondamentale de la trigonométrie  ( sin2(q) + cos2(q) = 1)  , on obtient :

 

  .

 

On en déduit que l'ensemble des points P quand q décrit l'intervalle [0 ; 2p[ est le cercle (C’) de rayon 1 et de centre (O,1),

 

donc il s'agit du cercle de centre A et de rayon 1.

 

 

 

3. Soit S le point d’affixe 1 + z + z2, où z désigne toujours l’affixe du point M.

Construire S, en justifiant la construction. (1 point)

 

On a   zS = 1 + z + z2 = (1 + z) + (z2) = zP + zQ , donc :

 

 

donc on obtient S par cette construction vectorielle et le point S est le quatrième sommet du parallélogramme OPSQ .

 

 

 

4. Dans le cas où S est différent de O, tracer la droite (OS).  Quelle conjecture apparaît, relativement au point M ? (0,5 point)

Démontrer que le nombre   (1 + z + z2) / z   est réel, quel que soit q appartenant à [0 ; 2p[ . (1 point)

Conclure sur la conjecture précédente. (1 point)

 

 

 

 

            donc   (1 + z + z2) / z   est bien réel  pour tout q appartenant à [0;2p[ .

 

 

            donc (1 + z + z2) = k.z  ,

 

            ce qui sous forme vectorielle se traduit par :

 

 

            donc les points O, S et M sont alignés.

 

 

 

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