Bac L 1999     Paris  (Juin 99)

                        Problème  (11 points)  SPECIALITE                                              Corrigé

 

 

On prendra soin de faire figurer sur la copie les calculs intermédiaires conduisant aux résultats présentés.

 

Le plan étant rapporté à un repère orthonormal ( O ; i , j), la courbe (C) tracée sur la feuille annexe représente la fonction f définie sur  par :

Le but du problème est d’étudier la fonction f puis d’encadrer une intégrale.

 

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire g

 

Soit g la fonction définie sur  par g(x) = x + ex .

1. Calculer la dérivée de g et étudier les variations de g. Déterminer les limites de g en +¥ et en -¥ .   (0,5 point ; 0,5 point)

 

2. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique a dans  et justifier l’encadrement  - 0,57 < a < - 0,56.   (0,75 point ; 0,5 point)

 

3. En déduire le signe de g(x).   (0,5 point)

 

Partie B : Étude de la fonction f et de la courbe (C)

 

1. Sachant que  lim x®+¥ ex/x = +¥ , déterminer la limite de f en +¥ .

On admettra que la limite de f lorsque x tend vers -¥ est égale à -¥ .   (0,25 point)

 

2. Montrer que f ’(x) = -g(x)/ex . Déduire de la Partie A le sens de variation de f.   (0,75 point ; 0,5 point)

 

3. En utilisant la question 2. de la Partie A , montrer que f(a) = -1 - a - 1/a .  (0,5 point)

 

4. Montrer que la droite (D) d’équation y = -x est asymptote à la courbe (C) en +¥. Étudier la position de (C) par rapport à (D) et préciser les coordonnées de leur point d’intersection.   (0,75 point ; 0,75 point)

 

5. Montrer qu’il existe un point A de (C) tel que la tangente en ce point soit parallèle à (D).

Déterminer l’équation de cette tangente que l’on appellera (T).   (0,75 point ; 0,5 point)

 

6. Construire sur la feuille annexe, qui sera remise avec la copie, les droites (D) et (T).   (0,5 point)

 

7. En observant la représentation graphique, indiquer quelles semblent être les valeurs de m pour lesquelles l’équation f(x) = - x + m, d’inconnue x, admet une solution unique.   (1 point)

 

Partie C : Étude d’une intégrale

 

On pose :

 

1. À l’aide d’une interprétation graphique, justifier l’encadrement 1 < J < 2 .   (0,5 point)

 

2. a. Calculer la dérivée de la fonction F définie sur  par F (x) = (x + 2)e-x .   (0,5 point)

2. b. En déduire une primitive de f sur  .   (0,5 point)

2. c. Calculer la valeur exacte de J.   (0,5 point)

 

annexe à remettre avec la copie