Bac L 1999     Asie  (Juin 99)

                        Problème  (12 points)  SPECIALITE                                              Corrigé

 

 

Partie A :

 

On considère la fonction f définie sur  par :

et on appelle (C) sa courbe dans un repère orthonormal  (O ; i , j)  d’unité 2 cm.

 

1. Déterminer les limites de f en +¥ et en -¥ .   (0,5 point)

 

2. Montrer que la droite (D1) d’équation y = x +1 est asymptote à (C) en +¥.   (0,5 point)     Préciser la position relative de (C) et de (D1).   (0,5 point)

 

3. Montrer que, pour tout réel x, f(x) + f(-x) = 0.   (0,5 point)   En déduire que la fonction f est impaire et donner un élément de symétrie de la courbe (C).   (0,5 point)

 

4. Déduire de ce qui précède que la droite (D2) d’équation y = x+1 est asymptote à (C) en -¥.   (0,5 point)

Préciser la position relative de (C) et de (D2).   (0,5 point)

 

5. a. Montrer que, pour tout x :   (0,5 point)

En déduire le sens de variation de f .   (0,5 point)

5. b. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse 0.   (0,5 point)

5. c. Tracer dans le repère (O ; i , j) les droites (T), (D1), (D2) et la courbe (C).   (1,5 point)

 

Partie B :

 

1. a. Démontrer que, pour tout réel x :   (0,5 point)

1. b. En déduire l’expression de la primitive F de f , définie sur  , telle que F(0) = - 2 ln 2 .   (1 point)

                                                                                                                

2. Pour tout entier naturel n, on appelle un l’aire exprimée en cm2 du domaine gn délimité par la courbe (C), la droite (D1) et les droites  (Dn) et (Dn+1) d’équations respectives x = n et x = n + 1.

2. a. Démontrer que, pour tout n :   (1 point)

2. b. Calculer un et montrer que, pour tout n :   (1 point)

2. c. Représenter sur le graphique les domaines g0 , g1 , g2 ; donner une valeur approchée de u0 à 10-2 près.   (1 point)

 

3. Démontrer que, pour tout n :

 

et en déduire la limite de (un).   (1 point)

 

 

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