Correction du sujet :      Bac L 1999  Asie  (Juin 99)

                                   Exercice 2  (4 points)  SPECIALITE                                  Énoncé

 

Partie A :        1.         2.         3.         4.         5. a.     5. b.     5. c.

Partie B :        1. a.     1. b.     2. a.     2. b.     2. c.     3.

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

 

 

Partie A :

 

On considère la fonction f définie sur  par :

 

 

et on appelle (C) sa courbe dans un repère orthonormal  (O ; i , j)  d’unité 2 cm.

 

1. Déterminer les limites de f en +¥ et en -¥ . (0,5 point)

 

On a :

 

donc, d’après les théorèmes algébriques de calcul de limites, on a :

 

lim x®+¥ f(x) = +¥  .

 

D’autre part :

 

donc, d’après les théorèmes algébriques de calcul de limites, on a :

 

lim x®-¥ f(x) = -¥  .

 

 

2. Montrer que la droite (D1) d’équation y = x+1 est asymptote à (C) en +¥.   (0,5 point)

Préciser la position relative de (C) et de (D1).   (0,5 point)

 

Nous avons, pour tout x de  ,

 

Or, on a   lim x®+¥ 2/(ex +1) = 0 ,

 

donc la droite (D1) d’équation  y = x - 1  est asymptote à (C) en +¥ .

 

De plus, on a (comme ex >0 pour tout x de  )

donc, pour tout x de  , la courbe (C), représentative de f , est toujours située au-dessus de son asymptote (D1).

 

 

3. Montrer que, pour tout réel x, f(x) + f(-x) = 0. (0,5 point)

En déduire que la fonction f est impaire et donner un élément de symétrie de la courbe (C). (0,5 point)

 

Pour tout réel x ,

 

d’où, pour tout x de  , on a :   f(x) + f(-x) = 0  ,

 

donc la fonction f est impaire et sa courbe représentative (C) est symétrique par rapport au point O , origine du repère.

 

 

4. Déduire de ce qui précède que la droite (D2) d’équation y = x+1 est asymptote à (C) en -¥. (0,5 point)

Préciser la position relative de (C) et de (D2). (0,5 point)

 

On sait que la courbe (C) est symétrique par rapport au point O , et elle admet en +¥ la droite (D1) pour asymptote,

 

donc par symétrie, la courbe (C) admet une asymptote en -¥ , et cette asymptote est le symétrique de la droite (D1) par rapport au point O.

 

Le symétrique de la droite (D1) par rapport au point O est une droite d’équation  y = x +1  ,

 

donc la droite (D2) d’équation y = x+1 est asymptote à (C) en -¥ .

 

Par symétrie, comme la courbe (C) est au-dessus de la droite (D1), la courbe (C) est au-dessous de la droite (D2).

 

 

5. a. Montrer que, pour tout x :   (0,5 point)

 

 

En déduire le sens de variation de f . (0,5 point)

 

On écrit f sous la forme  f = u + 2/v

 

Avec u et v deux fonctions définies et dérivables de  dans  par :

 

f est dérivable sur  en tant que somme de fonctions dérivables sur  , et on a  f = u’ + 2(-v’/v2)  , d’où :

d’où :

 

Pour tout x de  , on a :

 

donc pour tout x de  , f ’(x) > 0 ,

 

donc f est strictement croissante sur  .

 

 

5. b. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse 0. (0,5 point)

 

La tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse 0 a pour équation :   y = f ’(0) (x–0) + f (0)  .

 

On a :

 

donc l’équation de (T) s’écrit  y = x/2  .

 

 

5. c. Tracer dans le repère (O ; i , j) les droites (T), (D1), (D2) et la courbe (C). (1,5 point)

 

 

 

 

Partie B :

 

1. a. Démontrer que, pour tout réel x : (0,5 point)

 

 

Pour tout réel x, on a :

donc on a bien montré que pour tout x réel, f(x) peut s’écrire :

 

 

1. b. En déduire l’expression de la primitive F de f , définie sur R, telle que F(0) = - 2 ln(2) . (1 point)

 

Soit t la fonction définie sur  par t(x) = ex/(ex+1) .

 

t est de la forme z’(x)/z(x) (avec z(x) > 0 sur  ) , donc une primitive de t sera de la forme   ln[z(x)] = ln[ex+1]  .

 

On en déduit qu’une primitive de f est une fonction Fk définie sur  et de la forme : (k désigne une constante réelle)

 

F est la primitive de f telle que F(0) = -2 ln(2) . Déterminons la valeur que prend alors la constante k .On a :

 

Fk(0) = - 2 ln(2) + k = -2 ln(2)

 

d’où     k = 0  ,

 

d’où :

 

 

2. Pour tout entier naturel n, on appelle un l’aire exprimée en cm2 du domaine gn délimité par la courbe (C), la droite (D1) et les droites  (Dn) et (Dn+1) d’équations respectives x = n et x = n + 1 .

2. a. Démontrer que, pour tout n : (1 point)

 

 

On a :    1 unité d’aire = 2 ´ 2 = 4 cm2 .

 

Sur tout  , la courbe (C) est au-dessus de la droite (D1), donc l’aire un de gn en cm2 est donnée par :

 

 

d’où :

 

 

 

 

2. b. Calculer un et montrer que, pour tout n : (1 point)

 

 

 

d’où :

 

 

2. c. Représenter sur le graphique les domaines g0 , g1 , g2 ; donner une valeur approchée de u0 à 10-2 près. (1 point)

 

 

 

 

d’où     u0 = 3,04   à 10-2 près.

 

 

3. Démontrer que, pour tout n :

 

 

et en déduire la limite de (un). (1 point)

 

On a, pour tout n entier naturel, en factorisant par en au numérateur et au dénominateur :

 

 

donc on a bien montré que :

 

 

On a     lim n®+¥ e n = +¥

 

donc     lim n®+¥ e-n = 0

 

d’où :    lim n®+¥ u n = 8 [1 – ln(e)]

 

Or ln(e) = 1  ,

 

d’où     lim n®+¥ un = 0  .

 

 

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