School Angels

Bac L 1999 Amérique du Nord (Juin 99)

Problème (11 points) SPECIALITE Corrigé

Soit f la fonction définie, pour tout réel x, par f(x) = (- 2x² + 3x) e^x.

Partie A : Étude de f

1. Déterminer les limites suivantes : lim _x_®₊_¥ f(x) et lim _x_®_-_¥ f(x) (on utilisera lim _x_®_-_¥ xⁿe^x = 0 , n entier naturel). (1 point)

2. Soit f ’ la dérivée de f . Montrer que f ’(x) a le même signe que - 2x² - x + 3 . (1,5 point)

3. Étudier le signe de f ’(x) et dresser le tableau de variation de f. (1 point)

4. Résoudre l’équation f(x) = 0 et étudier la position de (C) par rapport à l’axe des abscisses. (2 points)

5. Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 0. (1 point)

Tracer (T) et (C). (1 point)

1. On considère les fonctions g et h définies, pour tout x réel, par g(x) = xe^x - e^x et h(x) = x²e^x - 2xe^x + 2e^x.

Calculer les dérivées des fonctions g et h. (1 point)

2. En utilisant la question 1, calculer : (1 point)

3. Soit E la partie de plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe (C), les droites d’équations x = 0 et x = 3/2 .

En utilisant ce qui précède, donner une valeur numérique décimale approchée à 10^-2 près par défaut de l’aire de E exprimée en cm². (1,5 point)