Correction du sujet :      Bac L 1999  Antilles - Guyane  (Juin 99)

                                   Exercice 2  (4 points)  SPECIALITE                                  Énoncé

 

1. a.     1. b.     1. c.     2. a.     2. b.     3.

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

 

 

En 1998, le prix d’un magazine de parution annuelle est de 200 F. Chaque année, ce prix augmente de 6 %. Pour tout entier naturel n, on appelle Pn le prix de ce magazine l’année (1998 + n). On a donc P0 = 200 .

 

1. a. Calculer P1 et P2. (0,5 point)

 

Le taux d’augmentation annuel étant de 6% , on multiplie par :  1 + 6/100  =  1 + 0,06  .

 

P1 = P0 (1 + 0,06) = 200 ´ 1,06   , donc  P1 = 112 .

 

P2 = P1 (1 + 0,06) = 112 ´ 1,06   , donc  P2 = 224,72 .

 

 

1. b. Montrer que (Pn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. (0,5 point)

 

Pour tout entier n, on a :     Pn+1 = Pn  ´ 1,06  ,

 

donc (Pn) est une suite géométrique de raison 1,06 et de premier terme P0 = 200 .

 

 

1. c. Exprimer (Pn) en fonction de n, pour tout n entier naturel. (0,5 point)

 

On a immédiatement, par définition d’une suite géométrique :   Pn = 200 ´ 1,06 n  .

 

 

2. Une personne dispose d’un budget annuel de 500 F pour acheter ce magazine.

2. a. Résoudre dans IN l’inéquation :  1,06 n ³ 2,5 . (1 point)

 

1,06 n ³ 2,5       ó        ln (1,06 n) ³ ln 2,5   (car la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +¥[ )

 

ó        n ln (l,06) ³ ln 2,5

 

 

Or on a :

 

 

donc les solutions de l’inéquation 1,06 n ³ 2,5 sont tous les entiers naturels supérieurs ou égaux à 16 .

 

 

2. b. À partir de quelle année ne lui sera-t-il plus possible d’acheter le magazine ? (0,5 point)

 

L’année n à partir de laquelle cette personne ne pourra plus acheter le magazine vérifie l’inéquation :

 

200 ´ 1,06 n ³ 500         ó        1,06 n ³ 2,5

 

donc la valeur de n minimale vérifiant cette inéquation est n = 16  (cf. question 2. a.) ,

 

donc c’est à partir de 2014 (1998 + 16 = 2014) que cette personne ne pourra plus acheter ce magazine.

 

 

3. On dispose d’un abonnement à tarif préférentiel : le magazine de l’année 1998 (n = 0) à l’année 2007  (n = 9) pour 2500 F.

Quelle sera l’économie réalisée au bout de ces 10 années si l’on s’abonne plutôt que si l’on achète le magazine chaque année ? (1 point)

 

Sans abonnement, le prix d’achat sur 10 ans est de :

 

S = 200  +  200(1,06)  +  200(1,06)2  +  …  +  200(1,06)9

 

S = 200 (1 + 1,06  +  (1,06)2  +  …  +  (1,06)9 )

 

 

 

 

 

L’abonnement sur 10 ans vaut 2500 F ,