Bac ES 1999   Polynésie  (Juin 99)

Problème  (12 points)                                                                       Corrigé

 

 

Le plan est rapporté à un repère orthonormal. On prendra pour unité graphique 2 cm.

On considère les fonctions f et g définies sur l’intervalle [0 ; +¥[ par

Dans le repère choisi, on appelle (C) la courbe représentative de f et (G) la courbe représentative de g.

 

Partie A :

 

1. Déterminer la limite de f (x) quand x tend vers +¥ .   (0,5 point)

 

2. Vérifier que la fonction dérivée de f est définie pour tout x positif par f ’(x) = (-x+3) ex-1 .   (0,75 point)

 

3. Étudier le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation. On précisera f(0) , f ’(0) , f(3) , f ’(3) .   (1,25 point)

 

4. Tracer la courbe (C).   (1 point)

 

5. Déterminer les réels a et b tels que la fonction F définie sur l’intervalle [0 ; +¥ [ par F(x) = (ax+b) ex-1  soit une primitive de la fonction f .   (1 point)

 

Partie B :

 

On considère la fonction u définie sur l’intervalle [0 ; +¥[ par :

 

1. Vérifier que, pour tout x positif, u(x) est strictement positif.   (0,5 point)

 

2. a. Déterminer la limite de u(x) quand x tend vers +¥ .   (0,5 point)

2. b. Étudier le sens de variation de u .   (0,5 point)

Dresser le tableau de variation de u et retrouver le résultat de la question 1. de la Partie B .   (0,5 point)

 

3. En utilisant les résultats précédents, déterminer le sens de variation de la fonction g et démontrer que la courbe (G) admet une asymptote (D) au voisinage de +¥ dont on donnera une équation. (1 point)

 

4. Tracer la courbe (G) et la droite (D) sur le même graphique que celui de la partie A .   (0,75 point)

 

5. Soit G la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +¥[ par :

 

G(x) =  (x+6) ln(x+6)  -  (x+1) ln(2x+2) .

 

Démontrer que G est une primitive de la fonction g sur l’intervalle [0 ; +¥[ .   (0,75 point)

 

Partie C :

 

1. Résoudre, à l’aide des représentations graphiques faites, l’inéquation  g(x) £ f(x) .   (1 point)

 

2. Calculer l’aire A en cm2 du domaine du plan constitué des points M( x ; y) tels que :

 

2 £ x £ 3    et    g(x) £ y £ f (x) .   (1 point)

Donner l’arrondi de A à l’unité près. (1 point)

 

 

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