Correction du sujet :      Bac ES 1999  Maroc  (Juin 99)

                                   Exercice 1  (4 points)                                                           Énoncé

 

1. a.     1. b.     2.         3. a.     3. b.     4.

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

 

 

Aucun détail des calculs effectués à la calculatrice n’est exigé dans cet exercice.

Bien qu’ils ne soient pas demandés, nous donnerons les détails des calculs, dans un intérêt pédagogique.

 

Le tableau ci-dessous donne l’évolution du chiffre d’affaires réalisé à l’exportation par une entreprise.

 

Année

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

xi

0

1

2

3

4

5

6

7

8

yi

100

101

107

122

127

139

136

157

165

 

xi désigne le rang de l’année, yi désigne l’indice du chiffre d’affaires à l’exportation rapporté à la base 100 en 1990.

 

1. a. Représenter le nuage de points Mi (xi ; yi) associé à la série double dans un repère orthogonal. (1 point)

On prendra :

·         pour origine le point M0 (0 ; 100),

·         pour unités : 1,5 cm sur l’axe des abscisses, 2 cm pour 10 points d’indice sur l’axe des ordonnées.

 

 

 

1. b. Calculer les coordonnées du point moyen G associé à cette série statistique et placer ce point sur le graphique. (On donnera la valeur décimale arrondie au dixième de l’ordonnée de G.) (0,75 point)

 

Le point moyen G admet pour coordonnées les moyennes de xi et de yi , avec :

d’où :

 

donc les coordonnées du point moyen G sont :   (4 ; 128,2) .

 

 

 

 

2. Déterminer la valeur décimale arrondie au centième du coefficient de corrélation linéaire de la série double.

Ce résultat permet-il d’envisager un ajustement affine ? Pourquoi ? (1 point)

 

Le coefficient de corrélation linéaire se calcule à l’aide de la formule :

Avec :

d’où :

 

           

 

 

d’où :

 

Le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique {( xi ; yi )} est égal à  -0,98 à 10 - 2 près.

 

Un ajustement affine de cette série est justifié puisque  r est très proche de –1 .

 

 

3. Soit (D) la droite d’ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.

3. a. Donner la valeur décimale arrondie au dixième du coefficient directeur de la droite (D). (0,25 point)

 

Le coefficient directeur de (D), obtenue par la méthode des moindres carrés est :

On a alors :

           

 

Le coefficient directeur de (D) arrondi au dixième est donc égal à 8,4 .

 

 

3. b. En utilisant les coordonnées du point moyen G, donner une équation de la droite (D). Tracer cette droite sur le graphique précédent. (0,5 point)

 

Une équation de la droite (D) d’ajustement de y en x , obtenue par la méthode des moindres carrés est   y = a x + b  , avec :

 

Une équation de la droite (D) d’ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés est donc :

 

y = 8,4 x + 94,6   .

 

 

 

4. En supposant que l’évolution du chiffre d’affaires se poursuive de la même façon au cours des années suivantes, estimer l’indice du chiffre d’affaires de cette entreprise en l’an 2001 (on en donnera la valeur arrondie à l’unité). (0,5 point)

 

En 2001, on aura atteint le rang 11. Remplaçons x par 11 dans l’équation de (D) :

 

            y = 8,4 ´ 11 + 94,6

 

En supposant que l’évolution du chiffre d’affaires se poursuive de cette façon au cours des années suivantes, l’indice du chiffre d’affaires de l’entreprise en l’an 2001 sera donc égal à   187 .

 

 

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