Correction du sujet : Bac ES 1999 Asie (Juin 99)
Exercice
2 (6 points) Énoncé
Ce sujet nécessite de
connaître les points suivants du cours :
- probabilités
- arbre pondéré
Un grand club de ski français propose à la vente :
· des licences
· des cartes neige à prix normal
· des cartes neige à prix réduit pour les habitants de la commune.
Pour chacun de ces titres vendus, il faut distinguer deux catégories : la catégorie jeunes et la catégorie adultes.
Le nombre de titres vendus pour la saison 98 se répartit de la manière suivante :
· 8,5 % de licences
· 77,5 % de cartes neige à prix réduit
· 1,5 % de licences catégorie jeunes
· 2,5 % de cartes neige à prix normal catégorie jeunes.
De plus, parmi les personnes ayant acheté une carte neige à prix réduit, 86,5 % sont des adultes.
On note :
· L : l’événement : "La personne a acheté une licence" ;
· CN : l’événement : "La personne a acheté une carte neige à prix normal" ;
· CR : l’événement : "La personne a acheté une carte neige à prix réduit" ;
· J : l’événement : "La personne est dans la catégorie jeunes" ;
· A : l’événement : "La personne est dans la catégorie adultes" ;
Questions :
On choisit au hasard un client de la saison 98.
1. Déterminer la probabilité pour que :
1. a. cette personne ait acheté une carte neige à prix normal ; (0,5 point)
On rappelle que x % = x / 100 !!
Comme le suggère l’énoncé, construisons un arbre
pondéré :
On cherche à calculer p(CN) .
Or on a : p(L)
+ p(CN) + p(CR) = 1 (car les trois
évènements L , CN et CR forment une partition de l’univers des
« produits » vendus par le club)
d’où : p(CN)
= 1 – p(L) – p(CR)
d’où : p(CN)
= 1 – 0,085 – 0,775
d’où : p(CN)
= 0,14
donc la probabilité que cette personne ait acheté
une carte neige à prix normal est égale à 0,14 .
1. b. cette personne ait acheté une carte neige à prix réduit catégorie adultes. (1 point)
On doit calculer p(CR Ç A) .
Or p(CR Ç A) = p(CR) ´
p(A/CR)
d’où p(CR Ç A) = 0,775 ´ 0,865
d’où p(CR
Ç A) = 0,670 à 10-3 près.
donc la probabilité que cette personne ait acheté
une carte neige à prix réduit catégorie adultes est égale à 0,670 à 10-3 près.
2. Montrer que la probabilité pour que la personne ait acheté une carte neige à prix réduit catégorie jeunes est égale à 0,105. (1 point)
On doit calculer p(CR Ç J) .
Or p(CR Ç J) = p(CR) ´
p(J/CR)
d’où p(CR Ç J) = 0,775 ´ (1
- 0,865)
d’où p(CR
Ç J) = 0,105 à 10-3 près.
donc la probabilité que la personne ait acheté une carte
neige à prix réduit catégorie jeunes est égale à 0,105 à 10-3 près.
3. Sachant que la personne a acheté une licence, quelle est la probabilité pour qu’elle appartienne à la catégorie adultes ? (1,5 point)
On doit calculer
p(A/L) .
Or
on a :
Nous connaissons déjà p(L) , il nous reste à calculer
p(A Ç L) .
Les événements A et J forment une partition de
l’univers des clients. (En effet, soit un client appartient à la catégorie
jeune, soit il est « vieux » , et il n’y a pas d’autre
possibilité !).
La formule des probabilités totales nous permet
alors d’écrire :
p(L) = p(J Ç L) + p(A Ç L)
d’où p(A Ç L) = p(L) –
p(J Ç L)
d’où p(A Ç L) = 0,085 –
0,015
d’où p(A Ç L) = 0,070
d’où p(A/L) = 0,070 / 0,085 = 70 / 85
d’où p(A/L)
= 0,824 à 10-3 près
donc la probabilité que la personne appartienne à la
catégorie adultes, sachant qu’elle a acheté une licence, est égale à 0,824 à 10-3 près.
4. Quelle est la probabilité pour que cette personne appartienne à la catégorie jeunes ? (1 point)
On veut calculer p(J) . Comme L , CN et CR forment
une partition de l’univers considéré, on a, d’après la formule des
probabilités totales :
p(J Ç L) + p(J Ç CN) + p(J Ç CR) = p(J)
d’où p(J) =
0,015 + 0,025 + 0,105
d’où p(J) =
0,145 à 10-3 près
donc la probabilité que la personne appartienne à la
catégorie jeunes est égale à 0,145 à 10-3 près.
5. Sachant que la personne est jeune, quelle est la probabilité pour qu’elle ait acheté une licence ? (1 point)
On veut calculer p(L/J) . On a :
donc p(L/J)
= 0,103 à 10-3 près.
donc la probabilité que la personne ait acheté une
licence sachant qu’elle est dans la catégorie jeunes est égale à 0,103 à 10-3 près.
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