Correction du sujet :      Bac ES 1999  Amérique du Nord  (Juin 99)

                                   Exercice 2  (5 points)                                                           Énoncé

 

1. a.     1. b.     1. c.     2. a.     2. b.     2. c.     3.

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

·         lecture graphique

·         tangente à une courbe

·         intégration

 

 

On donne, dans un repère orthonormal  ( O ; i , j)  du plan, la courbe représentative (G) d’une fonction f, définie et dérivable sur [0 ; 6].

Les points A(1/2 ; 2) , B(4 ; 1/4) et C(2 ; 1) sont des points de (G), et (T) est la tangente à (G) en C.

 

 

1. a. Déterminer par lecture graphique le minimum et le maximum de f sur [0 ; 6]. (0,5 point)

 

Par lecture graphique, on lit que le point de la courbe (G) qui a la plus grande ordonnée est le point de coordonnées (0 ; 5/2) ,

 

donc le maximum de f sur [0 ; 6] est 2,5 .

 

De même, on lit que le point de la courbe (G) qui a la plus petite ordonnée est le point de coordonnées (5 ; 0) ,

 

donc le minimum de f sur [0 ; 6] est 0 .

 

 

1. b. Déterminer par lecture graphique l’image par f de l’intervalle [0 ; 2]. (0,5 point)

 

Les points de la courbe (G) tels que  0 £ x £ 2 ont une ordonnée comprise entre 1 et 5/2 ,

 

donc l’image par f de l’intervalle [0 ; 2] est [1 ; 2,5] .

 

 

1. c. En utilisant le graphique, donner l’ensemble des solutions de l’inéquation : f(x) < 1/2 . (0,5 point)

 

L’ensemble des solutions de l’inéquation f(x) < 1/2 est constitué des abscisses des points de (G) situés en dessous de la droite d’équation  y = 1/2  ,

donc l’ensemble des solutions de l’inéquation  f(x) < 1/2 est  ] 3,25 ; 6 [. 

 

 

2. a. On admet que (T) est parallèle à (AB). Déterminer alors f '(2) . (0,75 point)

 

On sait que le coefficient directeur de la tangente à une courbe est égale à la valeur que prend la dérivée au point de tangence. Pour connaître f ’(2) , il suffit alors de connaître le coefficient directeur de la tangente (T) (qui est tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse x = 2) .

 

Or, par hypothèse, on sait que (T) est parallèle à (AB) ,

 

donc ces deux droites ont le même coefficient directeur.

 

Calculons le coefficient directeur m de (AB) .

 

Par lecture graphique, les coordonnées de A et B sont  A (1/2 ; 2)  et  B (4 ; 1/4) .

 

On a alors :

On déduit immédiatement de ce qui précède que le coefficient directeur de (T) vaut  -1/2 ,

 

donc  f ’(2) = -1/2  .

 

 

2. b. Déterminer l’équation réduite de (T), puis celle de (AB). (1 point)

 

Pour l’équation réduite de (T) , deux méthodes sont possibles.

 

Première méthode :

 

(T) est la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse x = 2 ,

 

donc, par le cours, l’équation de (T) s’écrit :

 

            (T) :   y = f ’(2) [x - 2] + f(2)

 

Par la question précédente, on sait que  f ’(2) = -1/2  et par lecture graphique (point C) , on lit que f(2) = 1  , d’où :

 

            (T) :   y = -(1/2) [x - 2] + 1

 

            (T) :   y = -(1/2) x + 2

 

Deuxième méthode :

 

Par la question précédente, on sait que le coefficient directeur de (T) vaut  1/2 ,

 

Donc l’équation réduite de (T) s’écrit :

 

            y = -(1/2) x + b

 

Or on sait, par une lecture graphique, que (T) passe par C (2 ; 1),

 

donc les coordonnées de C vérifient l’équation de (T) , d’où :

 

            1 = -(1/2) ´ 2 + b

 

    ó    1 = -1 + b

 

    ó    b = 2

 

d’où :

 

            (T) :   y = -(1/2) x + 2

 

Calculons maintenant l’équation réduite de (AB).

 

Comme le coefficient directeur de la droite (AB) vaut –(1/2) , l’équation réduite de (AB) s’écrit :

 

            y = -(1/2) x + b’

 

La droite (AB) passe par le point A (1/2 ; 2) , dont les coordonnées vérifient l’équation de (AB) :

 

            2 = -(1/2) (1/2) + b’

 

    ó    b’ = 9/4

 

L’équation réduite de (AB) est donc :   y = -(1/2) x + 9/4  .

 

 

2. c. Justifier à l’aide du graphique que, pour tout x de [1/2 ; 4] , on a : (0,5 point)

 

 

Par lecture graphique, on constate que, sur l’intervalle  [1/2 ; 4] , la courbe (G) est située entre les droites (T) et (AB) ,

 

donc, pour tout x de [1/2 ; 4], on a :

 

 

3. On pose :

 

Déduire du résultat précédent  2. c.  que l’intégrale I est comprise entre  49/16  et  63/16 . (1,25 point)

 

Par la question précédente, on sait que pour tout x de [1/2 ; 4] , on a :

 

Or l’intégration conserve les relations d’ordre, donc on peut en déduire, en intégrant sur [1/2 ; 4] :

 

On a :

 

 

 

On obtient alors l’encadrement suivant :

 

 

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