Correction du sujet :      Bac ES 1999  Antilles - Guyane  (Juin 99)

                                   Exercice 1  (4 points)  SPECIALITE                                  Énoncé

 

Partie A :        1.         2.         3.         4.

Partie B :        1.         2.         3.

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

 

 

Une suite réelle (Un) est définie, pour tout entier naturel, par son premier terme U0 strictement positif et par la relation de récurrence suivante :

 

Un+1 - Un = - 0,04 Un.

 

Partie A :

 

1. En fonction de U0, calculer U1, U2 et U3. (0,5 point)

 

D’après la relation de récurrence, on a :

 

 

2. Démontrer que cette suite est une suite géométrique de premier terme U0 et de raison q que l’on déterminera. (1 point)

 

D’après la relation de récurrence, on a pour tout entier n :

 

Un +1 - Un = - 0,04 Un

 

   ó     Un +1 = 0,96 Un

 

donc la suite (Un) est géométrique de raison q = 0,96 et de premier terme U0 .

 

 

3. Quel est son sens de variation ? (0,5 point)

 

On a :

 

donc cette suite est décroissante.

 

 

4. Exprimer Un en fonction de U0 et de n. (0,5 point)

 

Pour tout entier n , on a :

 

            Un = (0,96)n U0

 

 

 

Partie B :

 

Le 1er janvier 1997, la population d’une commune rurale était de 3000 personnes. On admet que cette population a diminué de 4 % par an.

 

1. Quelle a été la population de cette commune au 1er janvier 1999 ? (0,5 point)

 

Le taux de diminution annuel est de 4% = 0,04 ,

donc le coefficient multiplicateur est   1 – 0,04  (signe – car il s’agit d’une diminution) soit  0,96 .

 

Si on pose U0 = 3000  alors la population de cette commune au 1er janvier de l’année  1997 + n  est :

 

            Un = 3000 ´ (0,96)n

 

La population de cette commune au 1er janvier 1999 est donc :

 

            Un = 3000 ´ (0,96)2 = 2765  en arrondissant à l’entier le plus proche.

 

 

2. Quelle sera la population de cette commune au 1er janvier 2000 ? (0,5 point)

 

La population de cette commune au 1er janvier 2000 est :

 

            Un = 3000 ´ (0,96)3 = 2654  en arrondissant à l’entier le plus proche.

 

 

3. À partir de quelle année la population chutera-t-elle à moins de 2000 personnes ? (0,5 point)

 

La population sera inférieure à 2000 habitants pour n entier tel que :

 

3000 ´ (0,96)n  <  2000

 

    ó    3(0,96)n < 2

 

    ó    (0,96)n < 2/3

 

    ó    ln[(0,96)n] < ln(2/3)       (la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +¥[ , donc le sens de l’inégalité ne change pas)

 

ó        n  ln[0,96] < ln(2) – ln(3)

 

 

Or on a :

 

donc la plus petite solution est n = 10 ,

 

donc la population de la commune chutera en dessous de 2000 habitants à partir du 1er janvier 2007  (pour n = 10).