Rappel :

Dans ce chapître, on utilise la notion de repère direct. Un repère (O,,,) est direct si les trois vecteurs peuvent être remplacés respectivement par les trois premiers doigts (pouce, index, majeur) de la main droite, les trois doigts étant orthogonaux deux à deux.

Définition   (avec trois points)

Si et sont deux vecteurs non colinéaires de l'espace orienté, le produit vectoriel de par , dans cet ordre, noté    est le vecteur défini par :

la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC) ;

le repère (A;,,) est direct ;

la longueur AD est égale à   AB AC sin(,) .

Si et sont colinéaires, le produit vectoriel de par est le vecteur nul :

=

Définition

Soit et deux vecteurs de l'espace.

Etant donné un point A, on construit B et C tels que  =   et   = . Le produit vectoriel des vecteurs et , dans cet ordre, est .

Ce produit vectoriel est noté .

Théorème   Orthogonalité

Soit deux vecteurs et . Leur produit vectoriel est un vecteur orthogonal à et à .

Théorème   Colinéarité de deux vecteurs

Deux vecteurs et sont colinéaires si et seulement si =

Théorème   Base orthonormale

Si et sont deux vecteurs unitaires et orthogonaux et  = , alors (,,) est une base orthonormale directe.

Propriété

Si (,,) est une base orthonormale, alors on a  = .

Propriété

Soient et deux vecteurs quelconques de l'espace. On a :

=  -

On dit que le produit vectoriel est anti-symétrique.

Propriété

Soient , et trois vecteurs quelconques de l'espace et un réel quelconque. On a :

(+)  =  +

(+)  =  +

()  =  ()  =  ()

Propriété

Soit (,,) une base orthonormale directe de l'ensemble des vecteurs de l'espace. On a :

=    =    =

=            =            =

=  -         =  -        =  -

Rappel :   Déterminant

On rappelle ci-dessous comment calculer un déterminant.

Théorème

Soit (,,) une base orthonormale directe et et deux vecteurs de coordonnées respectives (x,y,z) et (x',y',z') dans cette base.

Les coordonnées du produit vectoriel    sont :

ou :

( yz'-y'z , zx'-z'x , xy'-x'y )