Définition

Soit et deux vecteurs de l'espace, de coordonnées respectives (x,y,z) et (x',y',z') dans un repère orthonormal.

On définit le produit scalaire de et , noté  . , par :

.  =  xx' + yy' + zz'

Propriété

Pour tous vecteurs , et vecteurs de l'espace et un réel quelconque. On a :

. = .

. = 2

(). = (.) = .()

. = ..cos(,)        d'où    . .

+    +

.(+) = . + .

2(.) = 2 + 2 - -2

Propriété

Un repère (O,,,) est orthonormal si et seulement si :

= = = 1

. = . = . = 0

Théorème

Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul.

Propriété

Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs ont un produit scalaire nul.

Propriété

Une droite passant par un point M et de vecteur directeur et un plan P muni d'un repère (O,,) sont perpendiculaires si et seulement si  . = 0  et  . = 0 .

Définition

Un vecteur non nul est normal à un plan P muni d'une base (O,,) si et seulement si  . = 0  et  . = 0 .

Propriété

Un vecteur non nul est normal à un plan P si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.

a. Trigonométrie

Propriété

Soit et deux vecteurs non nuls de coordonnées respectives (x,y,z) et (x',y',z').

On sait que  . = ..cos(,)  , d'où :

b. Equation cartésienne d'un plan et ses propriétés

Théorème

Soit a, b, c, et d réels avec a, b et c non tous nuls. L'équation

ax + by + cz + d  =  0

est celle d'un plan de vecteur normal (a,b,c).

Remarque :

Soit M(x,y,z) et A(xA,yA,zA) deux points de ce plan. A et M appartenant à ce plan, donc les vecteurs (x-xA,y-yA,z-zA) et (a,b,c) sont orthogonaux, donc leur produit scalaire est nul, d'où :

a(x-xA) + b(y-yA) + c(z-zA)  =  0

et en posant d = -(axA + byA + czA) , on obtient :

ax + by + cz + d  =  0

Propriété

Soit deux plans d'équations respectives :

ax + by + cz + d = 0      et      a'x + b'y + c'z + d' = 0

Ces deux plans sont parallèles si et seulement si il existe un réel non nul tel que :

a' = a        b' = b        c' = c

Propriété

Soit deux plans d'équations respectives :

ax + by + cz + d = 0      et      a'x + b'y + c'z + d' = 0

Ces deux plans sont confondus si et seulement si il existe un réel non nul tel que :

a' = a        b' = b        c' = c        d' = d

Propriété

Soit deux plans d'équations respectives :

ax + by + cz + d = 0      et      a'x + b'y + c'z + d' = 0

Ces deux plans sont perpendiculaires si et seulement si :

aa' + bb' + cc'  =  0

Remarque :

Dans cette dernière propriété, on exprime en fait simplement que les vecteurs normaux de chaque plan (de coordonnées respectives (a,b,c) et (a',b',c')) sont orthogonaux entre eux et donc leur produit scalaire est nul (aa'+bb'+cc'=0).