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1. Définition et conséquences 

Définition
La fonction exponentielle est la fonction, définie sur , qui, à chaque réel x, associe le nombre y dont le logarithme népérien est x.
La fonction exponentielle est notée exp ou e suivi d'un exposant .

Propriété
La fonction exp est dérivable sur et sa dérivée lui est égale :
pour tout x réel,   (exp)'(x) = exp(x)

Propriété
Pour tout x réel,  ex > 0
Pour tout réel x et pour tout réel y > 0 , on a :   y = ex     x = ln(y)
Pour tout réel x , ln(ex) = x
Pour tout réel x > 0 , eln(x) = x
e0 = 1

Propriété
La fonction exponentielle est strictement croissante sur .
La fonction exponentielle est une bijection de sur ]0;+[ : c'est la bijection réciproque de la fonction ln .

Propriété
Pour tout x et y réels, on a :
    ex < ey         x < y
    ex = ey         x = y
    ex > 1         x > 0     (car e0 = 1)
    ex < 1         x < 0     (car e0 = 1)

2. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle 

Théorème   Relation fondamentale
Pour tous réels a et b,
ea+b = ea eb

Propriété
Pour tous réels a et b,
ea-b = ea/eb                   e-b = 1/eb

Propriété
Pour tous réels a1 , a2 , ... , ap , on a :
ea1+a2+...+ap  =  ea1ea2...eap

Propriété
Pour tout réel a et tout entier relatif k, on a :
(ea)k  =  eak

3. Dérivation et primitive 

Théorème
La fonction exp est dérivable sur et sa dérivée lui est égale :
pour tout x réel,   (exp)'(x) = exp(x)

Propriété   Dérivation de expu
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction f : x eu(x) est dérivable sur I et on a :
f '(x) = u'(x).eu(x)

Propriété   Primitive
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction x eu(x) est une primitive de la fonction x u'(x) eu(x) .

Définition
Pour tout x réel, on définit le nombre ex ("exponentielle de x") comme étant le nombre dont le logarithme népérien est x :
ln(ex) = x

4. Limites utiles 

Propriété   (a connaître PAR COEUR)
   
   
   
   

Remarque :
Pour cette dernière limite, on a :
   
Il s'agit donc en fait de la forme "limite" de la dérivée de la fonction exponentielle en 0.

5. Puissances réelles d'un nombre strictement positif 

Définition
Pour tous réels a > 0 et b, le nombre "a puissance b", noté ab, est le nombre qui vérifie :
ab =eb ln(a)

Théorème
Pour tous réels a et a' strictements positifs et pour tous réels b et b', on a :
    ab = eb ln(a)
    1b = 1         (car ln(1)=0 et e0=1 !)
    (aa')b = ab a'b
    (ab)b' = abb'
   
   


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