Definition

On dit que d est le nombre dérivé de f en a si :

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On dit que d est le nombre dérivé de f en a si :

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On dit que d est le nombre dérivé de f en a si on peut écrire, pour tout réel h tel que a+h soit dans I :

Remarque :

Ces définitions sont équivalentes :

on passe de la première à la seconde en posant a+h = x . (Quand h tend vers 0, x tend alors vers a !)

on passe de la troisième à la première en faisant :

f(a+h) = f(a) + hd + (h)         [f(a+h)-f(a)]/h = d + (h)

Puis, en passant à la limite, comme par hypothèse la limite de (h) est nulle pour h tendant vers 0, on retombe bien sur la première définition !

Definition

Lorsque f admet un nombre dérivé en a, on dit que f est dérivable en a .

Lorsque f est dérivable en tout point de I, on dit que f est dérivable sur I .

Formule

FONCTION DERIVEE a   (constante) 0 xn   (n *) n xn-1    (x > 0) sin x cos x cos x - sin x tan x 1 + tan² x u + v u' + v' uv u'v + uv' un   (n *) n u' un-1 f u u' (f 'u) f(ax+b) a f '(ax+b)

Remarque :

Attention de toujours bien vérifier et l'ensemble de définition, et l'ensemble de dérivation, ceux-ci pouvant être différents (par exemple, pour la fonction x , qui est définie pour x 0 , mais dérivable pour x > 0 .

Les polynômes, les fractions rationnelles et les fonctions circulaires sont dérivables sur leurs ensembles de définition.

Théorème

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

si f ' est (strictement) positive sur I, alors f est (strictement) croissante sur I.

si f ' est (strictement) négative sur I, alors f est (strictement) décroissante sur I.

si f ' est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Théorème

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert (c'est-à-dire de la forme ]...;...[ ).

si f ' s'annule en un point x0 de I en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x0.

si f admet un extremum local en un point x0 de I, alors f '(x0) = 0 .

Définition

Soit I et J deux intervalles. Une bijection de I sur J est une fonction f définie sur I telle que :

1. pour tout réel x de I, le réel f(x) est dans J ;

2. pour tout réel c de J, il existe un unique x de I tel que f(x) = c .

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b] et dérivable sur ]a;b[ :

si pour tout x de ]a;b[, f '(x) > 0 , alors f est une bijection de [a;b] sur [f(a);f(b)] ;

si pour tout x de ]a;b[, f '(x) < 0 , alors f est une bijection de [a;b] sur [f(b);f(a)] .

Théorème   Très important pour le Bac !

Soit f une fonction dérivable sur [a;b] .

Si f ' est de signe constant et si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors l'équation f(x) = 0 admet une unique solution sur ]a;b[ .

Remarque :

Ce théorème n'est que la conséquence directe du théorème précédent : comme f ' est de signe constant, f est une bijection de I=[a,b] vers J=f([a,b]), puis comme comme 0 J car f(a) et f(b) sont de signes contraires, par définition, il existe un unique réel x de I tel f(x) = 0 , d'où l'existence et l'unicité de la solution.

On peut d'ailleurs généraliser pour les équations du type c = f(x) :

Théorème   Très important pour le Bac !

Soit f une fonction dérivable sur [a;b] et c un réel.

Si f ' est de signe constant et si on a c [f(a),f(b)] si f(a) < f(b) (ou c [f(b),f(a)] si f(b) < f(a)) ) , alors l'équation f(x) = c admet une unique solution sur ]a;b[ .

Propriété

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et sa courbe représentative.

La tangente à la courbe C au point de coordonnées (x0,f(x0)) a pour coefficient directeur f '(x0) .

Une équation de cette tangente est : (elle passe bien sûr par (x0,f(x0)) !)

y  =  f(x0) + f '(x0) (x - x0)

Remarque :

Un rapide calcul permet de vérifier que cette droite passe bien par (x0,f(x0)) , point de contact courbe-tangente .

Théorème   dit "théorème des accroissements finis"

Soit f et g deux fonction définies et dérivables sur un intervalle I .

Si pour tout x de I, on a f '(x) g'(x) , alors pour tout couple de réels a et b de I tel que a < b , on a :

f(b) - f(a)    g(b) - g(a)

Théorème   dit "inégalité des accroissements finis"

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I .

Si il existe deux réels m et M tels que pour tout x de I, on a  m f '(x) M , alors pour tout couple de réels a et b de I tel que a < b , on a :

m(b-a)    f(b) - f(a)    M(b-a)

Théorème   dit "inégalité des accroissements finis avec valeur absolue"

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I .

Si il existe un réel M tel que pour tout x de I, on a  |f '(x)| M , alors pour tout couple de réels a et b de I , on a :

|f(b) - f(a)|    M|b-a|