Définition

Deux entiers non nuls sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD est vaut 1.

Propriété

Soit deux entiers a et b non nuls.

a et b sont premiers entre eux     PPCM(a,b) = ab

Théorème   Théorème de Bezout

deux entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers u et v tels que :

au + bv = 1

Théorème   Théorème de Gauss

Soit a, b et c trois entiers. Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

a divise bc

a est premier avec b

alors a divise c .

Théorème

Soit a, b et c trois entiers. Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

a divise c

b divise c

a est premier avec b

alors ab divise c .

Théorème

Soit a, b et c trois entiers.

a est premier avec b et c     a est premier avec bc

Définition

Un entier naturel est premier s'il est supérieur ou égal à deux et si ses seuls diviserus entiers naturels sont 1 et lui même.

Remarque :

1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , ... sont des nombres premiers.

On déduit facilement de cette définition que tout entier non nul admet au moins un diviseur premier : 1 .

Propriété

Soit n un entier non premier : n admet un diviseur premier différent de 1 dont le carré est inférieur ou égal à n.

Démonstration :

Utilisons un raisonnement par l'absurde : comme n est non premier, n admet deux diviseurs premiers p et p' avec par exemple p < p' . Supposons que  p > .

On a alors p' p >   , donc pp' > n ce qui est impossible donc notre hypothèse est fausse et on a p .

On déduit de ce théorème la méthode dite "du crible d'Erasthotène".

Formule   Crible d'Eratosthène

Pour savoir si un nombre est premier, il suffit d'étudier sa divisibilité par tous les nombres p tels que p .

Propriété

Si n nombre premier p divise un produit d'entiers, il divise au moins l'un d'eux.

On en déduit que si un nombre premier p divise un produit de nombres premiers, il est égal à l'un d'entre eux.

Propriété

L'ensemble des nombres premiers est infini.

Théorème   Décomposition en produit de facteurs premiers

Tout nombre entier supérieur ou égal à deux non premier s'écrit d'une manière unique comme produit de nombres premiers.

Propriété

Soit a et b deux entiers naturels, chacun étant supérieur ou égal à deux.

Le PGCD de a et b est égal au produit des facteurs premiers de a et b affecté de l'exposant le plus petit de ceux qu'il a dans le développement en facteurs premiers de a et b.

Exemple :

Soit  a = 18000  et  b = 540  .

On a :

a = 2 2 2 2 3 3 5 5 5   =   24 32 53

b = 2 2 3 3 3 5   =   22 33 51

donc  PGCD(a,b)   =   22 32 51   =   180

Propriété

On déduit de la propriété précédente que deux entiers non nuls sont premiers entre eux si et seulement si ils n'ont aucun facteur premier en commun.

Propriété

Soit a et b deux entiers naturels, chacun étant supérieur ou égal à deux.

Le PPCM de a et b est égal au produit des facteurs premiers de a et b affecté de l'exposant le plus grand de ceux qu'il a dans le développement en facteurs premiers de a et b.

Exemple :

Reprenons l'exemple pécédent avec  a = 18000  et  b = 540  .

On a   PPCM(a,b)   =   24 33 53   =   54000