Bac S 1999     Polynésie  (Juin 99)

Exercice 2  (5 points)  SPECIALITE                                              Corrigé

 

 

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n : 23n - 1 est un multiple de 7 (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence). (0,75 point)

En déduire que 23n+1 - 2 est un multiple de 7 et que 23n+2 - 4 est un multiple de 7. (0,5 point ; 0,5 point)

 

2. Déterminer les restes de la division par 7 des puissances de 2. (0,5 point)

 

3. Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre entier :     Ap = 2p + 22p + 23p.

3. a. Si p = 3n, quel est le reste de la division de Ap par 7 ? (0,25 point)

 

3. b. Démontrer que si p = 3n + 1 alors Ap est divisible par 7. (0,25 point)

 

3. c. Étudier le cas où p = 3n + 2  . (0,5 point)

 

4. On considère les nombres entiers a et b écrits dans le système binaire :