School Angels

Bac S 1999 Paris (Juin 99)

Exercice 2 (5 points) SPECIALITE Corrigé

Pour tout entier naturel n non nul, on considère les nombres :

a_n = 4 ´ 10 ⁿ - 1, b_n = 2 ´ 10 ⁿ - 1 et c_n = 2 ´ 10 ⁿ+ 1 .

1. a. Calculer a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂, a₃, b₃, et c₃. (0,25 point)

1. b. Combien les écritures décimales des nombres a_n et c_n ont-elles de chiffres ?

Montrer que a_n et c_n sont divisibles par 3. (0,5 point ; 0,5 point)

1. c. Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100 donnée ci-dessous, que b₃ est premier.(0,5 point)

1. d. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, b_n ´ c_n = a_2n. (0,25 point)

En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de a₆. (0,25 point)

1. e. Montrer que PGCD (b_n, c_n) = PGCD (c_n, 2).

En déduire que b_n et c_n sont premiers entre eux. (0,5 point ; 0,5 point)

2. On considère l’équation :

(1) b₃ x + c₃ y = 1

d’inconnues les entiers relatifs x et y.

2. a. Justifier le fait que (1) possède au moins une solution. (0,5 point)

2. b. Appliquer l’algorithme d’Euclide aux nombres c₃ et b₃ ; en déduire une solution particulière de (1). (0,75 point)

2. c. Résoudre l’équation (1). (0,5 point)

Liste des nombres premiers inférieurs à 100 :

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97.