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Correction du sujet : Bac S 1999 Paris (Juin 99)

Problème (10 points) Enoncé

Partie A : 1. 2. 3. a. 3. b. 3. c. 4. a. 4. b. 5. a. 5. b.

Partie B : 1. a. 1. b. 2. a. 2. b. 2. c. 3. a. 3. b. 3. c. 3. d. 4.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

logarithme népérien
équation du type f(x) = 0
étude de fonction
intégration et calcul d’aire

Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O ; i, j) : on prendra 2 cm comme unité sur les deux axes et on placera l’axe des abscisses au milieu de la feuille et l’axe des ordonnées sur le bord gauche de la feuille millimétrée.

Partie A : Étude d’une fonction f et de sa courbe représentative (C)

On considère la fonction f, définie sur ]0 ; + ¥[ par :

et on désigne par (C) sa courbe représentative relativement au repère ( O; i , j ) .

1. Déterminer les limites de f en +¥ et 0 . (0,5 point)

Calcul de la limite pour x®+¥ :

On a lim _x_®₊_¥1/x = 0 , d'où lim _x_®₊_¥(1 - 1/x) = 1 .

d'autre part, lim _x_®₊_¥ ln(x) = + ¥ , d'où lim _x_®₊_¥(ln(x) - 2) = + ¥ ( -2 est bien négligeable devant + ¥ !!),

donc lim _x_®₊_¥f(x) = + ¥ .

Calcul de la limite pour x®0 :

On a lim _x_®₀1/x = + ¥ , d'où lim _x_®₀(1 - 1/x) = - ¥ (1 est bien négligeable devant - ¥ !!)

d'autre part, lim _x_®₀ln(x) = - ¥ , d'où lim _x_®₀(ln(x) - 2) = - ¥ ( -2 est bien négligeable devant - ¥ !!)

donc lim _x_®₀f(x) = + ¥ .

2. Montrer que f est dérivable sur ]0 ; + ¥[ et calculer f '(x). (0,5 point, 0,25 point)

On a :

la fonction p qui à x associe p(x) = 1 - 1/x est dérivable sur ]0 ; +¥[ , (car 1/x est dérivable sur ]- ¥ ; 0[ U ]0 ; + ¥[ )
la fonction q qui à x associe q(x) = ln(x) - 2 est dérivable sur ]0 ; + ¥[ , (car ln(x) est dérivable sur ]0 ; + ¥[ )

donc f est dérivable sur ]0 ; + ¥[ en tant que produit de deux fonctions dérivables sur ]0 ; + ¥[ .

Par les formules du cours, on a alors f ’ = p’q + pq’ avec p’(x) = 1/x² et q’(x) = 1/x , d'où :

donc, d'après tout ce qui précède, f est dérivable sur ]0 ; +¥[ et on a :

3. Soit u la fonction définie sur ]0 ; + ¥[ par u(x) = ln x + x - 3 .

3. a. Étudier les variations de u. (0,5 point)

On reconnaît tout de suite dans u(x) le numérateur (au signe - près ) de f ’(x) !!!

Cette fonction u est dérivable sur ]0 ; + ¥[ car elle est une somme de fonctions dérivables sur ]0 ; + ¥[ ,

Et pour tout x de ]0 ; + ¥[ , nous avons u'(x) = 1/x + 1 .

Si x appartient à ]0 ; + ¥[ , alors x > 0 , d'où 1/x > 0 et on obtient alors que u’(x) > 0 pour tout x ]0 ; + ¥[ ,

donc la fonction u est strictement croissante sur ]0 ; +¥[ .

3. b. Montrer que l’équation u(x) = 0 possède une solution unique a dans l’intervalle [2 ; 3].

Montrer que 2,20 < a < 2,21. (0,5 point)

La fonction u est dérivable et strictement croissante sur ]0 ; + ¥[ donc sur l'intervalle [2 ; 3] .

On a u(2) = - 1 + ln 2 et u(3) = ln 3 ,

D'où u(2) < 0 et u(3) > 0 donc l’équation u(x) = 0 admet une solution dans l’intervalle [2 ; 3].

De plus, comme u est strictement croissante,

Nous pouvons affirmer que cette solution est unique.

De plus u(2,20) = - 0,8 + ln(2,2) d'où u(2,20) » - 0,01

u(2,21) = - 0,79 + ln(2,21) d'où u(2,21) » 0,002.

donc u(2,20) < u(a) < u(2,21) et comme u est une fonction strictement croissante sur ] 0 ; + ¥ [, nous déduisons, par définition d'une fonction strictement croissante, que :

2,20 < a < 2,21

3. c. Étudier le signe de u(x) sur ]0 ; +¥[ . (0,5 point)

La fonction u est strictement croissante et s'annule pour x = a , donc :

u(x) < 0 sur ]0 ; a[ ;
u(a) = 0 ;
u(x) > 0 sur ]a ; +¥[ .

4. a. Étudier les variations de f. (0,5 point)

Pour tout x de ]0 ; + ¥[ , on a f ’(x) = u(x) / x² . f ’(x) et u(x) ont donc le même signe (car x² est toujours positif ou nul), donc :

f ’(x) < 0 sur ]0 ; a[ ;
f ’(a) = 0 ;
f ’(x) > 0 sur ]a ; +¥[ .

donc f est strictement décroissante sur ]0 ; a[ , strictement croissante sur ]a ; +¥[ et f admet un minimum en x = a .

4. b. Exprimer ln(a) comme polynôme en a.

Montrer que f (a) = - (a-1)² / a . (0,25 point, 0,5 point)

En déduire un encadrement de f (a) d’amplitude 2 ´ 10^-2. (0,25 point)

Or u(a) = ln a + a - 3 = 0 d'où ln a = - a + 3 ,

Pour obtenir un encadrement de f (a) , partons de l'encadrement de a que nous avions obtenu à la question 3. b. pour obtenir deux encadrements intermédiaires :

2,20 < a < 2,21

1,20 < a - 1 < 1,21

1,44 < (a - 1)² < 1,4641

2,20 < a < 2,21

Comme les membres de chaque inégalité (en gras) obtenue sont strictement positifs, nous pouvons multiplier membre à membre en conservant le sens , donc :

Puis, en multipliant par -1 (le sens de l'inégalité change alors) :

d'où un encadrement de f(a) d'amplitude 2.10^-2 est :

- 0,67 < f(a) < - 0,65

5. a. Étudier le signe de f (x). (0,25 point)

On a f(1) = 0 et f(e²) = 0 . Le tableau de variation de f, déduit des résultats des question précédentes, est donné ci-dessous :

On a alors immédiatement :

f(x) > 0 pour x Î ]0 ; 1[ U ]e² ; +¥[ .
f(x) < 0 pour x Î ]1 ; e²[ .

5. b. Tracer (C). (0,5 point)

A partir des résultats obtenus précédemment, on trace la courbe représentative de f :

Partie B : Étude d’une primitive de f sur ]0 ; +¥[.

Soit F la primitive de f sur ]0 ; +¥[ qui s’annule pour x = 1.

On appelle (G) la courbe représentative de F relativement au repère ( O; i , j ) .

1. a. Sans calculer F(x), étudier les variations de F sur ] 0 ; +¥ [. (0,5 point)

Pour tout x de ] 0 ; + ¥ [, F ’(x) = f(x) donc le signe de F ’(x) est celui de f(x) obtenu à la question A. 5. a. , donc :

F est strictement croissante sur ] 0 ; 1 [ U ] e² ; + ¥ [
F est strictement décroissante sur ] 1 ; e² [ .

1. b. Que peut-on dire des tangentes à (G) en ses points d’abscisses 1 et e² ? (0,5 point)

On a pour tout x de ] 0 ; + ¥ [, F'(x) = f(x) .

Or f(1) = f(e²) = 0 , donc F ’(1) = F ’(e²) = 0 .

On sait que la pente de la tangente à une courbe est égale à la valeur que prend la dérivée,

donc les pentes des tangentes en 1 et e² sont nulles,

donc ces deux tangentes sont horizontales.

2. Calcul de F(x)

2. a. x étant un réel strictement positif, calculer l’intégrale suivante (on pourra faire une intégration par parties). (0,5 point)

Comme le suggère l'énoncé, effectuons une intégration par partie. On pose :

a(t) = ln t d'où a ’(t) = 1/t
b ’(t) = 1 d'où b(t) = t .

On a alors :

2. b. Montrer que, pour tout x strictement positif : (0,25 point)

Pour tout réel x strictement positif, développons l'expression de f donnée par l'énoncé :

donc on a bien pour tout x strictement positif :

2. c. En déduire l’expression de F(x) en fonction de x. (0,5 point)

Comme nous avons pour tout x strictement positif F'(x) = f(x) , en utilisant :

l'expression de f obtenue à la question précédente,
la linéarité de l'intégrale (c'est à dire que l'intégrale d'une somme est égale à la somme des intégrales),

nous obtenons :

On a , par la question 2. a.

En posant u(t) = ln(t) , on a u'(t) = 1/t , donc ln(t) / t = u'(t).u(t) , d'où :

Enfin,

On obtient alors pour F(x) :

3. a. Montrer que lim _x_®₀ (x ln x ) = 0 . En déduire la limite de F en 0. (0,5 point, 0,25 point)

Par le cours, on sait que lim _t_®₊_¥ (ln t)/t = 0 .

Effectuons alors le changement de variable x = 1/t : lim _t_®₊_¥ (ln t)/t = lim _x_®₀ x(- ln x) ,

donc lim _x_®₀ x(ln x) = 0 .

D'autre part, comme lim _x_®₀ (ln x) = - ¥ , alors lim _x_®₀ 2(ln x) = - ¥ , et lim _x_®₀ -(ln x)²/2 = - ¥ ,

donc lim _x_®₀ F(x) = - ¥ .

3. b. Montrer que, pour x strictement supérieur à 1 : (0,25 point)

En déduire la limite de F en +¥ . (0,25 point)

En factorisant F(x) par x ln(x) , on a :

On pouvait procéder dans l'autre sens, c'est-à-dire partir du résultat et le développer, mais cette méthode est moins rigoureuse d'un point de vue mathématique.

Par le cours, nous savons que lim _x_®₊_¥ (ln x)/x = 0 , alors lim _x_®₊_¥ (-1/2) (ln x)/x = 0 .

On a bien évidemment lim _x_®₊_¥ 1/x = 0 , d'où lim _x_®₊_¥ 2/x = 0 .

d'autre part, comme lim _x_®₊_¥ (ln x) = + ¥ , alors lim _x_®₊_¥ 1/(ln x) = 0 , puis lim _x_®₊_¥ -3/(ln x) = 0 .

On déduit de ces trois résultats que :

Or lim _x_®₊_¥ x(ln x) = +¥ et 3 est négligeable devant +¥ ,

donc lim _x_®₊_¥ F(x) = + ¥ .

3. c. Dresser le tableau de variation de F. (0,5 point)

F(e²) = -(1/2).(ln e²)² + e².(ln e²) + 2 (ln e²) - 3 e² + 3

= -2 + 2e² + 4 - 3e² + 3

F(e²) = 5 - e² » -2,39 .

Des résultats obtenus aux questions précédentes, nous déduisons le tableau de variation suivant :

3. d. Tracer (G) sur le même graphique que (C). (0,5 point)

4. Calcul d’une aire

Calculer, en cm², l’aire du domaine limité par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = e². (1 point)

Comme f est négative sur l'intervalle [1 ; e²] , l’aire en unités d’aire de la portion de plan donnée est :

L'unité de longueur étant 2 cm pour une unité, l'unité de surface est 2*2 = 4 cm² , d'où cette aire exprimée en cm² vaut :

A = 4 ´ (e² - 5) cm² » 9,56 cm².