Correction du sujet :      Bac S 1999  Paris (Juin 99)

Exercice 2  (4 points)                                                           Énoncé

 

1. a.     1. b.     1. c.     1. d.     2. a.     2. b.     2. c.

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

• fonctions homographiques                                                              
• intégration et théorèmes d'encadrement
• fonction exponentielle
• convergence des suites numériques

 

 

Dans cet exercice, n est un entier naturel non nul. On considère la suite (u_n) définie par :

 

 

1. a. Soit j la fonction définie sur [0; 2] par j(t) = (2t + 3) / (t + 2).

Étudier les variations de j sur [0; 2]. En déduire que, pour tout réel t dans [0; 2],   3/2 £ j (t) £ 7/4. (0,25 point ; 0,25 point)

 

Etudions la fonction j définie sur [0;2] par :   j(t) = (2t + 3) / (t + 2).

                                                                                                                                    

Cette fonction est dérivable sur [0;2] car

• elle est un quotient de fonctions dérivables sur [0;2],
• le dénominateur ne s'annule pas sur [0;2].

 

Calculons sa dérivée : on pose   j(t) =  u(t) / v(t) avec :

• u(t) = 2 t + 3   d'où   u'(t) = 2
• v(t) = t + 2    d'où   v'(t) = 1 .

 

On applique la formule   j' = ( u' v - u v' ) / v ²   , d'où :

 

On a immédiatement que  j'(t) > 0 , pour tout tÎ[0;2], et on en déduit que j est strictement croissante sur l'intervalle [0;2].

 

Comme j est strictement croissante, si  0 £ t £ 2 , alors  j(0) £ j(t) £ j(2).

 

Or j(0) = 3/2 et j(2) = 7/4,

 

on obtient donc immédiatement que pour tout t Î [0;2] ,    3/2 £ j(t) £ 7/4.

 

 

1. b. Montrer que, pour tout réel t dans [0 ; 2], on a   3/2 e^t/n £ j(t) e^t/n £ 7/4 e^t/n  . (0,5 point)

 

En reprenant l'inégalité obtenue à la question précédente et en la multipliant par e ^t/n (on conserve le sens de l'inégalité car e ^t/n ³ 0, pour tout tÎ[0;2]),

 

on obtient pour tout   tÎ[0;2] ,  (3/2) e ^t/n £ j (t) e ^t/n £ (7/4) e ^t/n .

 

 

1. c. Par intégration, en déduire que : (0,5 point)

 

Dans l'inégalité obtenue à la question 1) b), nous avons trois fonctions de la variable t, intégrables sur [0;2] (car continues sur [0;2]), donc on obtient, par le théorème d'encadrement des intégrales :

 

 

 

 

 

1. d. On rappelle que lim _h®0 (e^h-1)/h = 0. Montrer que, si (u _n) possède une limite L, alors 3 £ L £ 7/2 . (0,5 point)

 

Soit L la limite de la suite (u_n). Par le résultat de la question 1. c. , on a :

 

 

Effectuons le changement de variable h=2/n (quand n tend vers l'infini, h tend vers 0), d'où :

 

 

Or, par le cours, on sait que quand h tend vers 0,  ( e^h - 1 ) / h  tend vers 1,

 

donc  3 £ L £ 7/2  .

 

 

2. a. Vérifier que, pour tout t dans [0 ; 2], on a : (0,5 point)

 

 

En déduire l’intégrale : (1 point)

 

Pour tout t différent de -2 , on a :

 

En factorisant comme ci-dessus, nous avons utilisé la méthode correspondant à la démarche intellectuelle la plus rigoureuse (c'est-à-dire qu'on part de ce qu'on connaît et on aboutit au résultat en factorisant puis en simplifiant), mais on pouvait aussi procéder comme ci-dessous (en partant du résultat, qui est donné dans l'énoncé) :

 

Ce résultat étant vrai pour tout t différent de -2, il est donc vrai pour tout t appartenant à [0; 2].

 

Par cette nouvelle écriture du quotient (2t+3/(t+2), nous voyons que nous avons une somme de deux fonctions de t facilement intégrables :

• soit la fonction f qui pour tout t de [-¥; +¥] associe le nombre f(t) = 2, f admet une primitive F sur [-¥; +¥] et on a pour tout t de [-¥; +¥], F(t) = 2t + cste.
• soit la fonction g qui pour tout t de ]-2; +¥] associe le nombre g(t) = -1/(t+2) , g admet une primitive G sur ]-2; +¥] et on a pour tout t de ]-2; +¥], G(t) = -ln(t+2) + cste

 

On a alors obtenu une décomposition de la fonction j sous la forme d'une somme de fonction intégrables sur ]-2; +¥] :

 

Une primitive de la fonction j  (  j(t) = f(t) + g(t)  )  est donc la fonction F = F + G, avec F(t) = F(t) + G(t) = 2t - ln(t+2), pour tout t Î]-2; +¥[ (et on a bien t+2 > 0 pour que le logarithme népérien soit bien défini).

 

L'intervalle [0; 2] étant inclus dans ]-2; +¥[, on a immédiatement que la fonction j est intégrable sur [0; 2], donc l'intégrale I est bien définie :

 

Or ln(4) = ln(2²) = 2 ln(2) ,

 

donc I = 4 - ln(2).

 

 

2. b. Montrer que, pour tout t dans [0; 2], on a 1 £ e^t/n £ e^2/n. En déduire que I £ u_n £ e^2/n I.  (0,5 point)

 

La fonction exponentielle est strictement croissante sur R , elle l'est donc également sur [0; 2], et par définition d'une fonction croissante :

 

si 0 £ t £ 2 , alors e^0/n £ e^t/n £ e^2/n, c'est-à-dire 1 £ e^t/n £ e^2/n ,

 

donc pour tout t dans [0; 2], 1 £ e^t/n £ e^2/n .

 

Or, à la question 1. a. , nous avons montré que pour tout t Î[0; 2],   3/2 £ j(t) £ 7/4,

 

donc j est positive sur cet intervalle,

 

donc, pour tout t dans [0; 2],   j(t) £ j(t).e^t/n £ j(t).e^2/n   (on conserve bien le sens de l'inégalité car j(t) ³ 0).

 

Par le théorème d'encadrement des intégrales, on en déduit :

 

Or j(t) = (2t + 3) / (t + 2), et e^2/n ne dépend pas de la variable d'intégration t (on peut donc sortir ce facteur de l'intégrale), donc :

 

On constate alors tout de suite que l'on a obtenu l'inégalité suivante :    I £ u_n £ e^2/n  I  .

 

 

2. c. Montrer que (u_n) est convergente et déterminer sa limite L. (0,5 point)

 

Par l'inégalité obtenue à la question 2. b. , on a que si la suite (u_n) admet une limite L, alors celle-ci vérifie l'inégalité :

 

I  £  lim _n®+¥ (u_n)  £  lim _n®+¥ (e^2/n  I)

 

Or lim _n®+¥ (2/n) = 0  et  e⁰ = 1, donc lim _n®+¥ (e^2/n) = 1   .

 

On en déduit que  lim _n®+¥ (e^2/n I) = I , d'où    I £  lim _n®+¥ (u_n)  £ I  .

 

Par le théorème d'encadrement des limites (ou "théorème des gendarmes"), on obtient alors que la suite (u_n) est convergente et que sa limite L  est égale à I, d'où   L = 4 - ln 2 .

 

 

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