Correction du sujet :      Bac S 1999     Asie  (Juin 99)

                                   Exercice 2  (5 points)  SPECIALITE                                  Énoncé

 

            1. a.     1. b.     2. a.     2. b.     3. a.     3. b.

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

·         théorème de Gauss

 

 

1. On considère l’équation (E) : 8x + 5y = 1, où (x ; y) est un couple de nombres entiers relatifs.

1. a. Donner une solution particulière de l’équation (E). (0,25 point)

 

On voit tout de suite qu'une solution particulière de (E) est   x = 2  et  y = -3 .

 

Remarque : Par le théorème de Bezout, comme 8 et 5 sont premiers entre eux, on a que (E) admet des solutions dans  .

 

 

1. b. Résoudre l’équation (E). (1,25 point)

 

On a : (cf. question 1. a. )

 

donc en soustrayant membre à membre, on obtient :

 

8(x-2) + 5(y+3) = 0

 

d'où :    8(x-2) = - 5(y+3)

 

Comme 8 divise 8(x-2) et est premier avec 5 , d’après le théorème de Gauss,  8  divise  y+3  et il existe un entier relatif k tel que  y+3 = 8k  .

 

d'où      8(x-2) = -5(8k)

 

d'où      x-2 = -5k ,

 

donc les solutions de (E) sont les entiers relatifs de la forme   x = 2 - 5k   et   y = -3 + 8k    (k appartenant à Z).

 

 

2. Soit N un nombre naturel tel qu’il existe un couple (a;b) de nombres entiers vérifiant :

 

 

2. a. Montrer que le couple (a;-b) est solution de (E). (0,5 point)

 

On a :   8a + 5(-b) = (N-1) - (N-2)

 

d'où      8a - 5b = 1 ,

 

donc le couple (a;-b) est solution de (E).

 

 

2. b. Quel est le reste, dans la division de N par 40 ? (1 point)

 

Comme le couple (a;-b) est solution de (E), il existe un entier relatif k tel que   a = 2-5k   et   -b = 3+8k  ,

 

d’où   N = 8(2-5k) + 1 = -40k + 17 ,

 

donc le reste de la division de N par 40 est 17.

 

 

3. a. Résoudre l’équation 8x + 5y = 100, où (x;y) est un couple de nombres entiers relatifs. (1 point)

 

Une solution particulière de (E) est x = 2, y = - 3,

 

donc une solution particulière est  (200 ; -300) !

 

On a alors :       8x + 5y = 100   ó        8x + 5y = 8(200) + 5(-300) = 100

 

ó        8(x-200) + 5(y+300) = 0

 

ó        5(y+300) = 8(200-x)

 

Avec le même type de raisonnement qu'à la question 1. b. , on montre qu’il existe un entier relatif k tel que :

 

200-x = 5k   et   y = - 300 + 8k

 

Les solutions de l’équation   8x + 5y = 100   sont donc les couples (200-5k ; -300+8k)   , k appartenant à  .

 

 

3. b. Au VIIIème siècle, un groupe composé d’hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans une auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune. Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ? (1 point)

 

Soit x le nombre d'hommes et y le nombre de femmes.

 

Le problème se rapporte à la recherche de deux entiers naturels x et y tels que  8x + 5y = 100.

 

D'après la question 3. a. , on cherche un entier relatif k tel que :

 

 

Ce qui équivaut à :

 

 

Les seules valeurs de k possible sont donc   k = 38   et   k = 39 :

 

Le groupe pouvait donc compter 10 hommes et 4 femmes ou 5 hommes et 12 femmes.

 

 

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