Correction du sujet : Bac S 1999 Antilles - Guyane (Juin
99)
Exercice
1 (4 points) Énoncé
Ce sujet nécessite de
connaître les points suivants du cours :
- dénombrement
- probabilités
- variable aléatoire : loi de probabilité.
Lors
d’un examen, un questionnaire à choix multiple (Q.C.M.) est utilisé.
On
s’intéresse à cinq questions de ce Q.C.M. supposées indépendantes. À chaque
question sont associées quatre affirmations, numérotées 1, 2, 3 et 4, dont une
seule est exacte.
Un
candidat doit répondre à chaque question en donnant seulement le numéro de
l’affirmation qu’il juge exacte ; sa réponse est correcte si l’affirmation
qu’il a retenue est vraie, sinon sa réponse est incorrecte.
Dans
cet exercice, les probabilités demandées seront données sous forme
fractionnaire.
1. Un
candidat répond à chaque question au hasard, c’est-à-dire qu’il considère que
les quatre affirmations correspondantes sont équiprobables.
1. a.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A :
“ Le candidat répond correctement à la première des cinq questions ” ; (1
point)
B :
“ Le candidat répond correctement à deux questions au moins sur les cinq ”. (1
point)
Soit A l’événement : “ Le candidat répond correctement à la première des cinq questions ” .
Comme le candidat a 4 choix (équiprobables) pour répondre à 5 questions, il a 45 = 1024 façons distinctes de répondre aux cinq questions.
D'autre part, il n’a qu’une façon de répondre correctement à la première question et 44 = 256 façons de répondre aux quatre autres questions.
On en déduit que : p(A) = 44 / 45 ,
donc p(A) = 1/4 .
B :
“ Le candidat répond correctement à deux questions au moins sur les cinq ”. (1
point)
Soit :
- Y l'événement " Le candidat ne répond correctement à aucune question sur les cinq "
- Z l'évènement "Le candidat répond correctement à une seule question sur les cinq ".
L’événement B est le contraire de l’événement " Y ou Z " .
Probabilité de l'événement Y :
Pour chaque question, les quatre réponses sont équiprobables,
donc pour chaque question, le candidat a une probabilité de 3/4 de répondre faux,
donc pour l'ensemble du questionnaire, le candidat à une probabilité de répondre faux à toutes les questions de (3/4)5 ,
donc la probabilité de
l'événement Y est p(Y) = (3/4)5
= 243/1024 .
Probabilité de l'événement Z :
Nous allons découper notre raisonnement en cinq sous-événement :
- Z1 : " le candidat répond correctement à la première question seulement sur les cinq "
- Z2 : " le candidat répond correctement à la deuxième question seulement sur les cinq "
- Z3 : " le candidat répond correctement à la troisième question seulement sur les cinq "
- Z4 : " le candidat répond correctement à la quatrième question seulement sur les cinq "
- Z5 : " le candidat répond correctement à la cinquième question seulement sur les cinq "
L'événement Z est la réunion de ces cinq sous-évènements qui sont disjoints.
Calculons la probabilité des événement Z1, Z2, Z3, Z4 et Z5.
On rappelle que le candidat répond au hasard, donc que les questions sont équiprobables.
La probabilité qu'il réponde correctement à une question est de 1/4 et la probabilité qu'il y réponde faux est donc de 3/4,
donc : (notez bien à chaque fois la position de la fraction 1/4, qui est celle de l'unique question à laquelle le candidat répond juste)
Calculons maintenant le probabilité de l'événement Z. On a :
- l'événement Z est la réunion des évènements Zi (i variant de 1 à 5)
- les évènements Zi sont incompatibles
donc :
Les événements Y et Z sont
incompatibles donc p( Y U Z ) =
p(Y) + p(Z) .
De plus l'événement B est le contraire de la réunion de Y et Z, donc :
p(B) = 1 -
p(Y U Z) = 1 - p(Y) - p(Z) = 47/128 .
donc la probabilité que le candidat réponde correctement à deux questions au moins est égale à 47/128 .
1. b.
On attribue la note 4 à toute réponse correcte et la note -1 à
toute réponse incorrecte.
Calculer
la probabilité de l’événement C : “ Le candidat obtient une note au moins égale
à 10 pour l’ensemble des cinq questions ”. (1 point)
On attribue la note 4 à toute réponse correcte et la note - 1 à toute réponse incorrecte.
Calculons le nombre de points N obtenus en fonction du nombre de réponses justes :
On déduit de ce tableau que pour obtenir au moins 10 points, notre candidat doit répondu correctement à au moins trois questions.
donc p(N³10) =
p(X=3) + p(X=4) + p(X=5) .
Calculons p(X=j) , pour j valant 3, 4, 5.
p(X=3) :
Pour une question :
- la probabilité que le candidat réponde juste à une question est 1/4 ;
- la probabilité que le candidat réponde fausse à une question est 3/4 ;
donc la probabilité que le candidat réponde juste à 3 questions sur 5 est :
Mais il y a plusieurs façons de choisir les 3 questions auxquelles le candidat répond juste parmi les 5 que compte ce Q. C. M. (par exemple, le candidat répond juste aux questions 1, 2 et 5; ou bien aux questions 2, 4 et 5; ou bien aux questions 1, 2 et 4; …).
Par le cours on sait que le nombre de manières de choisir ces 3 questions parmi les 5 est :
donc :
En tenant le même raisonnement on
calcule p(X=4) :
et p(X=5) :
On peut alors calculer p(N³10) :
