School Angels

Bac L 1999 Antilles - Guyane (Juin 99)

Problème (12 points) SPECIALITE Corrigé

Préliminaire :

Résoudre dans l’inéquation : ln x < -1/3 . (1 point)

Partie A :

Soit f la fonction définie et dérivable sur [1/e ; +¥[ telle que : f (x) = - x³ ln x .

On appelle (C) sa courbe représentative.

1. Calculer la dérivée de f sur l’intervalle de définition. (1 point)

2. a. Calculer la limite de f en +¥ et la valeur exacte de f(1/e) . (1,5 point)

2. b. Étudier le signe de la dérivée (on pourra utiliser le résultat de la question préliminaire). (0,5 point)

Dresser le tableau de variation de f . On donnera la valeur exacte de l’extremum. (1 point)

3. A est le point de la courbe représentative de f d’abscisse 1.

3. a. Donner les coordonnées de A . (0,25 point)

3. b. Donner l’équation de (D), tangente à la courbe en A. (1 point)

4. Étudier le signe de f (x) sur [1/e ; +¥[ . (1 point)

5. Représenter graphiquement sur [1/e ; 1,1 [ la fonction f, le point A et la droite (D). (1,5 point)

Unités : 10 cm pour les abscisses et 50 cm pour les ordonnées.

Partie B :

Pour tout x appartenant à [1/e ; 1] , on définit l’intégrale I et la fonction g par :

1. Que vaut I(1) ? (0,25 point)

2. Calculer la dérivée de g. En déduire la valeur exacte de I(1/2) . (1 point ; 1 point)

3. Calculer l’aire du domaine délimité par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x=1/2 et x = 1 . On en donnera une valeur, en cm², approchée à 10^-² près. La représenter sur le graphique de la question 5. de la Partie A . (1 point)