Correction du sujet :      Bac L 1999  Polynésie  (Juin 99)

                                   Problème  (11 points)  SPECIALITE                                  Énoncé

 

Partie A :        1.         2.         3. a.     3. b.     4. a.     4. b.

Partie B :        1.         2. a.     2. b.     2. c.

Partie C :        1. a.     1. b.     2. a.     2. b.

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

 

 

Le plan est rapporté à un repère orthonormal  (O ; i , j) (unité graphique 4 cm) .

 

Soit f la fonction définie sur  par  f(x)= -x + (2x+1)e-x  .

 

On appelle (C) la représentation graphique de f dans le repère (O ; i , j) .

 

Partie A :   Étude de f

 

1. On note f ’ la dérivée de f.

Montrer que, pour tout nombre réel x,  f ’(x)= (1-2x)e-x - 1  . (1 point)

 

La fonction f est dérivable sur  en tant que somme d’une fonction dérivable sur  et d’un produit de fonctions dérivables sur  .

 

Soit les fonctions u, v et w définies et dérivables sur  avec :

 

On a   f = w + uv  , d’où :   f ’ = w’ + (u’v+uv’)

 

d’où, pour tout x de  , on a :

 

f ’(x) = - 1 + 2e-x + (2x + 1)(-e-x)

 

f ’(x) = - 1 + (2-2x-1)e-x

 

d’où, pour tout x de  :

 

            f ’(x) = - 1 + (1-2x)e-x

 

 

2. Le tableau de variation de f ’ est le suivant :

 

 

Calculer f ’(0), puis, en utilisant le tableau ci-dessus, donner le signe de f ’(x) pour tout nombre réel x. (0,75 point)

En déduire les variations de f sur  .  (0,75 point)

 

Remarque :

 

On a   f ’(x) = - 1 + (1-2x)e-x  . La fonction f ‘ est dérivable sur R en tant que produit (à une constante près) de fonctions dérivables sur R , et on a :

 

f ’’(x) = (-2)(e-x) + (1-2x)(-e-x) = (2x-3)e-x

 

On a f ’’(x) = 0 pour x = 3/2 = 1,5 , d’où :

·         f ’’(x) < 0  sur ]-¥ ; 1,5[

·         f ’’(x) > 0  sur ]1,5 ; +¥[

·         f ’’(x) = 0  sur x = 1,5

 

d’où le tableau de variations de f ‘ donné ci-dessus !

 

On a :

 

f ’(0) = - 1 +1 ´ e0 = - 1 +1

 

d’où     f ’(0) = 0  .

 

On a   f ’(1,5) = -1,45 à 10-2 près , donc f ’(1,5) < 0 .

 

D’après le tableau de variations de f ’ , on a :

donc pour tout x de ]-¥ ; 0[ , f ’(x) > f ’(0) ,

donc pour tout x de ]-¥ ; 0[ , f ’(x) > 0 .

 

donc pour tout x de ]0 ; 1,5[ , f ’(0) > f ’(x) ,

donc pour tout x de ]0 ; 1,5[ , f ’(x) < 0 .

 

donc pour tout x de [1,5 ; ¥[ , f ’(x) <0 ,

 

d’où le tableau de signe suivant pour f ’ :

 

 

d’où les variations de f :

 

 

3. a. Montrer que, pour tout nombre réel x non nul :   (0,5 point)

 

 

Pour tout réel x non nul, on a :

 

 

3. b. Déterminer la limite de f en -¥. (0,5 point)

 

On a :

 

Or on a   lim x®-¥ x = -¥   donc :

 

 

d’où     lim x®-¥ f(x) = -¥

 

 

4. a. Montrer que, pour tout nombre réel x , f(x) = 2x e-x + e-x – x  . (0,25 point)

 

On a , par définition de f , pour tout x réel :

 

f(x)= -x + (2x+1)e-x

 

En développant cette expression, on obtient immédiatement :

 

f(x) = - x + 2xe- x + e-x

 

donc pour tout x réel, f(x) = 2x e-x + e-x – x  .

 

 

4. b. Déterminer la limite de f en + ¥. (0,5 point)

 

On a :

 

donc, par les théorèmes algébriques de calcul de limites, on obtient :    lim x®+¥ f(x) = +¥  .

 

 

 

Partie B : Tracé de la courbe (C)

 

1. Soit j la fonction définie sur  par j(x) = f(x) + x .

Étudier la limite de j en + ¥. (0,5 point)

 

Par l’expression de f de la question A. 4. a. , on obtient :   j(x) = 2xe– x + e– x

 

On a :

 

donc    lim x®+¥  j(x)  = 0

 

 

2. Soit (D) la droite d’équation y = - x .

2. a. Interpréter graphiquement le résultat de la question précédente. (0,5 point)

 

A la question précédente, nous avons obtenu que :

 

lim x®+¥  j(x)  = 0

 

Or on a, pour tout x réel :   j(x) = f(x) + x  = f(x) – (-x) d’où :

 

lim x®+¥  [ f(x) - (-x) ] = 0

 

donc la courbe (C) admet pour asymptote la droite (D) d’équation  y = -x .

 

 

2. b. Étudier la position relative de (C) et (D) et donner les coordonnées de leur point d’intersection P. (1 point)

 

On a, pour tout x réel :

 

f(x) - (-x) = j(x) = 2xe–x + e– x = 2xe–x + e–x

 

Une exponentielle étant toujours strictement positive, on obtient que  (2x + 1)e-x  est du signe de (2x + 1) .

 

On en déduit que :

 

d’où :

 

 

2. c. Tracer la droite (D), puis la courbe (C) et placer le point P sur le graphique. (1 point)

 

 

 

 

Partie C :   Calcul d’aire

 

1. Soit G la fonction définie sur  par G(x) = (ax + b) e-x , où a et b désignent des nombres réels.

1. a. Déterminer a et b pour que G soit une primitive de la fonction g définie sur  par  g(x) = (2x+1)e-x . (1 point)

 

G est bien dérivable, en tant que produit de fonctions dérivables sur  .

 

G est une primitive de le fonction g sur  si, et seulement si pour tout x réel, G’(x) = g(x)  .

 

On pose pour tout x réel :

 

On peut donc écrire, G sous la forme G = uv et on obtient par les théorèmes de dérivation de produit de fonction  G’ = u’v + uv’  , d’où :

 

pour tout x réel,  G’(x) = ae-x + (ax+b)(-e-x) = (a – ax –b)e-x

 

 

On procède alors, par identification :

 

Pour tout x réel, on a :

 

            G’(x) = g(x)      ó        (- ax + a - b)e-x = (2x + 1)e-x

 

                                   ó        (- ax + a - b)e-x - (2x + 1)e-x = 0

 

                                   ó        [(-a-2)x + a - b - 1] e-x = 0

 

                                   ó        (-a-2)x + a - b - 1 = 0   car pour tout x réel  e-x est toujours différent de 0

 

Cette équation étant vraie pour tout x réel, elle équivaut à :

 

 

d’où une primitive de g sur  est  G(x) = (-2x + -3) e-x

 

 

1. b. En déduire une primitive de f sur  . (0,5 point)

 

On a, pour tout x réel,   f(x) = -x + g(x)  .

 

donc, on obtient immédiatement qu’une primitive de f sur  est la fonction F définie sur  par :

 

 

 

2. a. Soit E la partie du plan limitée par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations  x = -1/2  et  x = 0 .

On note E l’aire, exprimée en cm2 , de la partie E . Calculer la valeur exacte de E. (1 point)

 

 

Une équation de (D) est  y = -x ,

 

donc (D) est au-dessus de l’axe des abscisses sur l'intervalle [-1/2 ; 0] ,

 

Or (C) est au-dessus de (D) sur l'intervalle [-1/2 ; 0] ,

 

donc (C) est au-dessus de (D) sur l'intervalle [-1/2 ; 0] .

 

donc l'aire E de la partie E du plan, limité par (C), l'axe des abscisses, la droite d'équation   x = -1/2  et l'axe des ordonnées est (en unités d'aire) :

 

 

On a alors :

 

Or l’unité graphique est de 4 cm et 4 ´ 4 = 16  , d’où    1 unité d’aire = 16 cm2  ,

 

 

 

 

2. b. En déduire l’aire S, exprimée en cm2 , du domaine plan S, ensemble des points M(x ; y) vérifiant les conditions :

 

 

On donnera une valeur décimale approchée à 10-2 près de S. (1,25 point)

 

 

La courbe (C) est au-dessus de (D) sur [-1/2 ; 0] , l'aire S du domaine S délimité par (D), (C) et les droites d'équations   x = -1/2   et   x = 0  , est donnée par : (en unités d’aires)

 

d’où   S  =  4,76 cm2 à 10-2 près.

 

 

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