Correction du sujet :      Bac L 1999  Paris  (Juin 99)

                                   Exercice 2  (5 points)  SPECIALITE                                  Énoncé

 

1. a.     1. b.     1. c.     2. a.     2. b.     2. c.    

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

 

 

1. Soit P la fonction définie sur R par P(x) = x2 + 9x - 4140.

1. a. Calculer P(60). (0,25 point)

 

On a :

            P(60) = 602 + 9 ´ 60 - 4140 = 3600 + 540 – 4140

 

d’où     P(60) = 0 .

 

 

1. b. Résoudre P(x) = 0 et en déduire le signe de P(x) en fonction de x. (0,5 point ; 0,5 point)

 

Trois méthodes sont possibles pour résoudre P(x) = 0 .

 

On pose a=1 , b=9 et c=-4140 , afin d’avoir P sous la forme : P(x) = ax2 + bx + c .

 

 

                        On résout tout simplement par un calcul de discriminant :

 

                                   D = b2 - 4ac = 81 - 4 ´ 1 ´ 4140 = 16641 = (129)2

 

                        Le discriminant étant strictement positif, P admet deux racines distinctes. Ces racines sont :

 

 

                        L’équation P(x) = 0 a donc pour solutions  60 et –69 .

 

 

                        On sait, par la question 1. a. , que 60 est solution de  P(x) = 0 .

 

                        Or dans un trinôme du second degré de la forme P(x) = ax2 + bx + c , le produit des racines vaut c/a ,

 

                        donc, en posant  x1 = 60 , on obtient x1 x2 = -4140 ,

 

                        d’où x2 = -4140 / 60 = -69 .

 

                        L’équation P(x) = 0 a donc pour solutions  60 et –69 .

 

 

                        On sait, par la question 1. a. , que 60 est solution de  P(x) = 0 ,

 

                        Donc le polynôme P est factorisable par  (x-60)  et nous pouvons calculer la forme factorisée de P :

 

                        P étant de degré 2 et comme a = 1 , sa forme factorisée est du type :  P(x) = (x-60)(x-t) ,

 

                        d’où P(x) = x2 – (60+t) x + 60t  sous forme développée.

 

                        On procède ensuite par identification : - (60+t) = 9   d’où  t = -69  .

 

                        donc   P(x) = (x-60)(x+69) .

 

                        Pour qu’un produit soit nul, il faut et il suffit que l’un des facteurs soit nul,

 

                        l’équation P(x) = 0 a donc pour solutions  60 et –69 .

 

 

Par le cours, on sait que P est du signe de -a (=-1 < 0) entre les racines, donc :

 

 

1. c. Dresser le tableau de variation de P. (0,5 point)

 

Comme a > 0 , on sait que la fonction polynomiale P est décroissante puis croissante et qu’elle admet un minimum en x = -b/2a = -9/2 (on peut retrouver ce résultat en dérivant P et en cherchant pour quelle valeur P’ s’annule :  P’(x) = 2x + 9  d’où  x = -9/2 ) .

 

On peut alors construire le tableau de variations de P sur  :

 

 

 

 

2. On dispose d’une subvention de 414 000 F pour atteindre dans un désert une nappe d’eau souterraine. Le coût du forage est fixé à 1000 F pour le premier mètre creusé, 1200 F pour le deuxième, 1400 F pour le troisième et ainsi de suite en augmentant de 200 F par mètre creusé.

On désigne par un le coût en francs du nième mètre creusé (nN* ).

2. a. Déterminer u5. Préciser la nature de la suite (un) et exprimer un en fonction de n. (1,25 point)

 

On a :

 

On constate que l’on ajoute 200 F pour passer d’un terme à un autre,

 

donc u3 = 1600 F  et  u5 = 1800 F .

 

L’augmentation de 200 F par mètre creusé s’écrit :   pour tout n Î N, un+1 = un + 200

 

donc (un) est une suite arithmétique de premier terme u1 = 1000 et de raison 200 .

 

On déduit de cette relation que pour tout entier naturel n non nul :

 

            un = u1 + 200 ´ (n - 1) = 1000 + 200n – 200

 

d’où     pour tout n Î N ,   un = 800 + 200n  .

 

 

2. b. Pour tout entier non nul n, on désigne par Sn le coût total en francs d’un puits de n mètres (par exemple, le coût total d’un puits de 3 mètres est 1000 + 1200 + 1400 + 3600).

Montrer que le coût total d’un puits de n mètres est 100n2 + 900n  . (1 point)

 

Le coût total Sn en francs d’un puits de n mètres est donné par :

 

            Sn = u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un

 

            Sn = (800 + 200 ´ 1)  +  (800 + 200 ´ 2)  +  (800 + 200 ´ 3)  +  ...  +  (800 + 200 ´ n-1)  +  (800 + 200 ´  n)

 

            Sn = 800 ´ n  + 200 ´ (1 + 2 + 3 + … + n-1 + n )

 

            Sn = 800 ´ n  + 200 ´ n(n+1)/2

 

            Sn = 800 ´ n  + 100(n2+n)

 

            Sn = 100 n2 + 900 n

 

donc le coût total d’un puits de n mètres est :  Sn = 100n2 + 900n .

 

 

2. c. À l’aide de la question 1, indiquer la profondeur maximale du forage que l’on peut réaliser. (1 point)

 

La subvention pour atteindre la nappe d’eau est d’un montant de 414000 F  ,

donc on doit avoir :

            Sn £ 414000      ó        100 n2 + 900 n £ 414000

 

ó        100 n2 + 900 n - 414000 £ 0

 

ó        n2 + 9 n - 4140 £ 0   (le sens de l’inégalité ne change pas car on divise par 100 qui est un nombre strictement positif)

 

ó        P(n) £ 0

 

A la question 1. b. , on a montré que  P(n) £ 0  si et seulement si  -69 £ n £ 60  ,

 

donc la profondeur maximale du forage que l’on peut réaliser est de 60 mètres.

 

 

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