Correction du sujet : Bac L 1999 Paris (Juin 99)
Exercice
1 (4 points) SPECIALITE Énoncé
Ce sujet nécessite de connaître les points suivants
du cours :
- probabilités
Dans cet exercice, on donnera chaque résultat sous forme d’une fraction irréductible.
Une urne contient quatre boules blanches
et cinq boules noires. Ces boules étant indiscernables au toucher, on
conviendra que tous les tirages possibles d’une boule sont équiprobables.
1. On tire simultanément deux boules de cette urne. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule de chaque couleur ? (1 point)
Comme on tire simultanément 2 boules de cette urne
qui en contient 9, le nombre de tirages distincts possibles est donc :
Comme ces boules sont indiscernables au toucher, ces
36 tirages sont équiprobables. Le nombre de tirages pour lesquels on obtient
une boule de chaque couleur (c’est-à-dire
une blanche et une noire) est :
On en déduit que la probabilité de tirer une boule de chaque couleur est égale à 20/36 , c’est-à-dire 5/9 .
2. On tire une boule et on la remet dans l’urne, puis on effectue un second tirage d’une boule.
2. a. Quelle est la probabilité d’obtenir d’abord une noire, puis une blanche ? (1 point)
On effectue les tirages avec remise, donc le second
tirage est indépendant du premier, et le nombre de tirages possibles
est égal à 9 ´ 9 = 81 .
Parmi les 9 boules, 5 sont noires et 4 sont
blanches, donc :
- la probabilité de tirer une boule noire vaut 5/9 ;
- la probabilité de tirer une boule blanche vaut 4/9 .
On a :
La probabilité de tirer d’abord une boule noire puis
une boule blanche vaut 20/81 .
2. b. Quelle est la probabilité d’obtenir successivement une boule de chaque couleur ? (0,5 point)
Pour obtenir une boule de chaque couleur, il faut
soit :
- tirer une boule noire puis une boule blanche, événement
(Noire ; Blanche)
- tirer une boule blanche puis une boule noire (Blanche ;
Noire)
La probabilité de l’événement (Noire ; Blanche)
vaut 20/81 (cf. question 2. a.).
Le tirage s’effectuant avec remise, l’ordre des
tirages ne rentre pas en compte dans le calcul des probabilités (en effet, que
l’on souhaite tirer d’abord une boule blanche puis une boule noire, ou une
boule noire puis une boule blanche, on fera toujours un tirage parmi 9 boules indiscernables,
avec 4 boules noires et 5 boules blanches),
donc la probabilité de chaque événement sera la
même,
donc la probabilité de l’événement (Blanche ;
Noire) vaut également 20/81 .
On a :
donc la probabilité d’obtenir successivement une
boule de chaque couleur vaut 40/81 .
3. On tire une boule et on note sa couleur. Si elle est noire on la remet dans l’urne, sinon on ne la remet pas. Dans les deux cas, on effectue un second tirage d’une boule.
Quelle est la probabilité de tirer une boule de chaque couleur ? (1,5 point)
Comme à la question 2. b. , pour obtenir une
boule de chaque couleur, il faut soit :
- tirer une boule noire puis une boule blanche, événement
(Noire ; Blanche) ;
- tirer une boule blanche puis une boule noire (Blanche ;
Noire).
Pour
le premier événement (Noire ; Blanche), on effectue le tirage avec remise donc
la probabilité sera encore de 20/81 ( avec le même raisonnement qu’à la
question 2. a.) ,
mais
en ce qui concerne l’événement (Blanche ; Noire), le tirage s’effectue sans remise ,
donc après le premier
tirage, il ne restera que 8 boules dans l’urne.
La probabilité de
l’événement (Blanche ; Noire) sera donc :
La
probabilité de tirer une boule de chaque couleur sera donc :
La
probabilité de tirer une boule de chaque couleur dans les conditions fixées
vaut donc 85/162 .
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