Correction du sujet : Bac L 1999 Maroc (Juin 99)
Problème (11 points)
SPECIALITE Énoncé
Partie A : 1. a. 1. b. 2. a. 2. b. 2. c.
Partie C : 1. 2. 3. a. 3. b. 3. c.
Ce sujet nécessite de
connaître les points suivants du cours :
- logarithme népérien
- tangente en un point à une courbe
- intégration et calcul d’aire
Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O ; i , j ) (unité graphique 2 cm).
Soit la fonction f définie sur ]0 ; +¥ [ par :
On note (C) sa représentation graphique.
Partie A : Étude de la fonction f
1. a. Déterminer la limite de f en +¥ ; interpréter graphiquement ce résultat. (0,75 point)
Par le cours, on sait
que :
- lim x®+¥
(ln x)/x = 0 (théorème des
croissances comparées)
- lim x®+¥
1/x = 0
donc lim x®+¥
f(x) = 1
On déduit de ce résultat
que la courbe (C) a pour asymptote la droite d’équation y = 1
au voisinage de +¥
.
1. b. Déterminer la limite de f en 0 ; on pourra écrire :
Interpréter graphiquement ce résultat. (1 point)
On a, pour tout x de
]0 ; +¥[ :
On a :
- lim x®0+
ln x = -¥ d’où
lim x®0+
(1+ln x) = -¥
- lim x®0+
1/x = +¥
donc lim x®0+
(1+ln x) / x = -¥ (d’après les théorèmes algébriques de
calcul de limites)
donc lim x®0+
f(x) = +¥
On déduit de ce résultat
que la courbe (C) a pour asymptote la droite d’équation x = 0
(axe des ordonnées) au voisinage de 0+ .
2. a. On note f ’ la fonction dérivée de f . Calculer f ’(x) et montrer que f ’(x) a le même signe que ln x. (1,25 point)
La fonction f est
dérivable sur ]0 ;
+¥[
en tant que somme de quotients de fonctions dérivables sur ]0 ; +¥[ , les dénominateurs des quotients ne
s’annulant pas sur ]0 ; +¥[ .
On a :
Pour dériver le
terme (ln x)/x on pose :
- u(x) = ln
x d’où u’(x) = 1/x
- v(x) = x d’où v’(x) = 1
Le terme (ln x)/x
est de la forme u/v , donc sa
dérivée sera de la forme : (u’v – uv’)v2 ,
d’où la dérivée de f
s’écrit :
donc, pour tout x de ]0 ; +¥[ :
Comme pour tout x de ]0 ; +¥[ (et même de 
!) x2 > 0 , on obtient que
f ’(x) est du signe de ln(x) sur ]0 ; +¥[ .
2. b. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation. (0,75 point)
f ’(x) étant du même
signe que ln(x) , on obtient immédiatement le tableau de signe
de f ’ , puis le tableau de variations de f :
On a :
2. c. En déduire le signe de f (x) lorsque x appartient à ]0 ; +¥[. (0,5 point)
D’après le tableau de
variations de f établi à la question précédente, on sait que f admet un unique
extremum qui est un minimum, atteint en x = 1 et valant f(1) = 0 ,
donc, pour tout x de ]0 ; +¥[ , f(x) ³
0 , ou plus précisément :
- pour tout x de ]0 ; 1[ È ]1 ; +¥[ , f(x) > 0
- f(1) = 0
Partie B : Tracé de la courbe (C)
1. Résoudre l’équation f(x) = 1, puis l’inéquation f(x) > 1 ; en déduire la position de (C) par rapport à la droite (D) d’équation y = 1 . (1,5 point)
1/e appartient bien à ]0 ; +¥[ ,
donc x = 1/e
est l’unique solution de l’équation
f(x) = 1 sur ]0 ; +¥[ .
ó - ln(x) – 1 > 0 car x > 0 car x appartient à ]0 ; +¥[ .
ó ln(x) < -1
ó x < 1/e (car la fonction logarithme est strictement croissante
sur ]0 ; +¥[ )
donc l’ensemble des
solutions de l’inéquation f(x) > 1 est
]0 , 1/e[ .
On déduit de ce qui
précède que f(x) - 1 > 0 si et
seulement si x appartient à ]0 , 1/e[ ,
et on peut alors établir le tableau de signe de f(x) - 1 :
On en déduit la
position de la courbe (C) par rapport à la droite (D) d’équation y = 1 :
- sur
]0 , 1/e[ , (C) est au-dessus de (D) ;
- sur
]1/e ; +¥
[ , (C) est au-dessous de (D)
.
2. Soit A le point d’intersection de (C) et (D).
Préciser le coefficient directeur de la tangente (T) à (C) au point A. (0,25 point)
On a f(x) = 1
pour x = 1/e (cf. question précédente) ,
donc le point d’intersection
A de (C) et (D)
a pour coordonnées (1/e , 1) .
Par le cours, on sait
que le coefficient directeur de la tangente (T) à (C) en A est f ’(1/e) . On
a :
donc le coefficient
directeur de (T) est -e2 .
3. Construire (T), (D) et (C) dans le repère ( O ; i , j ) . (1,5 point)
Partie C : Calcul d’aire
1. Soit u la fonction définie sur ]0 ; +¥ [ par u(x) = 1 + ln x.
On note u’ la dérivée de la fonction u. Calculer u’(x). (0,5 point)
En déduire une primitive de la fonction g définie sur ]0 ; +¥ [ par : (0,5 point)
u est dérivable sur ]0 ;
+¥ [ en tant que somme de fonctions dérivables sur
]0 ; +¥ [ .
On a, pour tout x de ]0 ; +¥[ , u’(x) = 1/x .
Pour tout x de
]0 ; +¥[
, on a :
donc une primitive de
g sur ]0 ;
+¥[ est la fonction G définie
par :
2. Calculer : (1 point)
D’après le résultat de
la question précédente, on a :
d’où : I = 3/2
.
3. On note S l’aire, exprimée en cm2, du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = e.
3. a. En utilisant le résultat de la question 2. c. de la Partie A , exprimer S en fonction de I . (1 point)
On sait que pour tout
x de [1 , e] , f(x) ³ 0 (cf. question A. 2. a.),
donc (C) est au-dessus
de l’axe (Ox) (abscisses) et on a, en unités d’aires :
Le plan étant muni d’un
repère orthonormal et l’unité graphique valant 2 cm, on a 1 unité d’aire = 4 cm2 , d’où :
S = 4 (e – 1 – I)
cm2 .
3. b. Donner la valeur exacte de S. (0,25 point)
D’après le résultat de
la question précédente, on a :
3. c. En déduire la valeur décimale approchée par défaut de S à 10-2 près. (0,25 point)
La valeur décimale
approchée à 10- 2 près par défaut de S est S = 0,87 cm2 .
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