Correction du sujet : Bac L 1999 Asie (Juin 99)

Exercice 2 (4 points) SPECIALITE Énoncé

1. 2. 3. 4.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

• suites
• limites de suites

On désigne par e la base des logarithmes népériens, c’est-à-dire l’unique réel e tel que ln(e) = 1.

On considère la suite (u_n) à termes strictement positifs de terme initial u₀ = 1 et telle que, pour tout entier n :

1. Calculer u₁ , u₂ , u₃ . (On donnera les valeurs exactes puis approchées à 10^-2 près.) (0,75 point)

On a :

d’où u₁ = 7,39 à 10^-2 près.

d’où u₂ = 20,08 à 10^-2 près.

d’où u₃ = 33,12 à 10^-2 près.

2. Pour tout entier n, on pose v_n = ln(u_n) ; exprimer v_n+1 en fonction de v_n. (0,5 point)

On a :

Or, on a :

• ln(e) = 1
• v_n = ln(u_n)

donc :

3. Soit la suite (w_n) de terme général, w_n = v_n - 4. Montrer que (w_n) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le terme initial w₀. Exprimer (w_n) en fonction de n et donner lim _n®+¥ w_n . (1,75 point)

Pour tout entier n, on a :

donc w_n+1 = w_n /2 ,

donc la suite (w_n) est une suite géométrique de raison 1/2 .

Calculons son premier terme est : w₀ = v₀ - 4 = ln(u₀) - 4 = ln(1) – 4

On ln(1) = 0 , donc  w₀ = – 4

Donc, pour tout entier n, on a :

Et comme 0 < 1/2 < 1 , on a :

lim _n®+¥ w_n = 0

4. En déduire lim _n®+¥ v_n puis, après avoir exprimé u_n en fonction de v_n , calculer lim _n®+¥ u_n . (1 point)

Pour tout entier n , on a :

w_n = v_n – 4

Or :

lim _n®+¥ w_n = 0 ,

donc :

lim _n®+¥ v_n = 4 .

Comme on a, pour tout entier n, v_n = ln(u_n) (avec u_n > 0 ), alors u_n = exp(v_n) ,

d’où, d’après le théorème de composition des limites, on a :

lim _n®+¥ u_n = e⁴ .

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