Bac ES 1999 Asie (Juin 99)

Problème (10 points) Corrigé

Soit f la fonction définie sur [0 ; 50] par :

La dérivée f ’(x) est égale à :

La courbe (C) de f est donnée en annexe.

1. Étudier le signe de f ’(x) sur l’intervalle [0 ; 50] . (1 point)

2. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; 50] . On admet que f(x) s’annule pour une seule valeur a de l’intervalle ]0 ; 50[ ; en déduire le signe de f(x) sur l’intervalle [0 ; 50] . (1,5 point)

3. Donner un encadrement de a par deux entiers consécutifs. (0,5 point)

Pour la suite du problème, on prendra pour a la plus petite de ces deux valeurs.

Partie B :

Une entreprise fabrique une quantité x, exprimée en kilogrammes, d’un certain produit.

Le coût marginal C, exprimé en euros, est défini sur [0 ; 50] par :

1. La fonction coût total, notée C_T, est la primitive de la fonction C sur [0 ; 50] qui prend la valeur 50 pour x = 0.

Vérifier que C_T(x) = x² + 50 ln (x+1) + 50 . (1,5 point)

2. Le coût moyen est la fonction C_m définie par :

2. a. Donner une expression de C_m(x) en fonction de x . (0,5 point)

2. b. Vérifier que la dérivée de C_m peut se mettre sous la forme : (1 point)

Partie C :

1. Déduire des résultats précédents le tableau de variation de la fonction C_m sur ]0 ; 50] . (1,5 point)

2. Tracer dans un repère orthonormal (O ; i , j ) la courbe représentative de C_m sur [1 ; 50] . (1 point)

3. Quelle est la production donnant le coût moyen minimal ? (0,5 point)

Calculer alors le coût total et le coût marginal correspondant au coût moyen minimal. (0,5 point ; 0,5 point)

Annexe

Courbe (C) de la fonction f