Correction du sujet : Bac ES 1999 Paris (Juin 99)

Problème (9 points) Énoncé

Partie A : 1. a. 1. b. 1. c. 2. a. 2. b. 2. c.

Partie B : 1. 2.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

• logarithme népérien
• intégration et calcul d’aire
• probabilités
• arbre pondéré

On a tracé dans un repère orthonormal (O , i , j ) la courbe représentative (C) de la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; 4] par :

Dans tout le problème, on donnera les résultats arrondis à 10^-3.

Partie A : Étude théorique liée à la fonction f

1. a. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; 4]. (1,5 point)

La fonction f est dérivable sur ]0 ; 4] en tant que somme de fonctions dérivables sur ]0 ; 4] . On a immédiatement, pour tout x de ]0 ; 4] :

Pour tout x de ]0 ; 4] , x est strictement positif,

donc f ’(x) est du signe de (x-1) ,

donc :

• pour tout x Î ]0 ; 1[, f ’(x) < 0 ;
• pour tout x Î ]1 ; 4[, f ’(x) > 0 ;
• f ’(1) = 0.

donc la fonction f est strictement décroissante sur ]0 ; 1] et strictement croissante sur [1 ; 4] .

1. b. Étudier la limite de f en 0. (0,5 point)

On a :

• lim _x®0+ x - (1/2) = -(1/2)
• lim _x®0+ - ln x = +¥

donc, d’après les théorèmes algébriques de calcul de limites, on obtient :

lim _x®0+ f(x) = +¥

Remarque : On peut déduire de ce résultat que l’axe des ordonnées est asymptote à ( C ).

1. c. Donner le tableau de variation de f. (0,5 point)

On a :

• f(1) = 1 - (1/2) - ln 1 = 1/2 (car ln(1) = 0)
• f(4) = 4 - (1/2) - ln 4 = (7/2) - ln(2²) = (7/2) - 2 ln(2)

On peut alors construire le tableau de variations de f :

2. Soit (Z) la partie du plan délimitée par la courbe (C) et les droites d’équations : y = 1/2 , x = 1 et x = 3.

2. a. Justifier que l’on a f(x) ³ 1/2 sur ]0 ; 4] et exprimer à l’aide d’une intégrale (que l’on n’essaiera pas de calculer dans cette question) l’aire A_Z , en unités d’aire, de la partie (Z) du plan. (1,5 point)

En lisant le tableau de variations établi à la question précédente, on voit immédiatement que, sur ]0 ; 4] , f admet un minimum égal à 1/2 en x = 1 ,

donc, pour tout x de ]0 ; 4] , on a  f(x) ³ 1/2 .

Exprimons maintenant A_Z .

Comme, pour tout x de ]0 ; 4] , on a  f(x) ³ 1/2 , on en déduit que la courbe (C) est située au-dessus de la droite d’équation y = 1/2 ,

d’où :

d’où :

2. b. Soit g la fonction définie sur ]0 ; 4] par g(x) = x ln x - x . Calculer g¢(x). (1 point)

La fonction g est dérivable sur ]0 ; 4] en tant que somme de produit de fonctions dérivables sur ]0 ; 4] . En posant, pour tout x appartenant à ]0 ; 4] :

• u(x) = x d’où u’(x) = 1 ;
• v(x) = ln(x) d’où v’(x) = 1/x ;

on peut alors écrire g = uv – u et les théorèmes de dérivations nous donnent immédiatement  g’ = (u’v-uv’) – u’ , d’où :

d’où, pour tout x appartenant à ]0 ; 4] , on a : g’(x) = ln(x) .

2. c. En déduire la valeur exacte de l’aire A_z en unités d’aire. (1 point)

On déduit de la question précédente que une primitive de la fonction ln est la fonction g . On peut alors calculer A_Z (en unités d’aires) :

d’où : A_Z = 4 – 3 ln(3) (unités d'aire) .

Partie B : Probabilité et jeu

Au cours de l’élaboration d’une phase d’un jeu vidéo inspiré du golf, on cherche à évaluer la probabilité de gagner. L’écran est le carré AOFB.

Les sommets du carré ont pour coordonnées :

A(0 ; 4) O(0 ; 0) F(4 ; 0) B(4 ; 4) .

La courbe (C) partage l’écran en deux parties :

· la partie de l’écran située strictement au-dessus de la courbe représente une mare et elle est notée (M) ;

· la partie de l’écran située au-dessous de la courbe représente le terrain de jeu et elle est notée (T).

La partie (Z) définie au paragraphe A est donc incluse dans (T).

1. Dans cette question, le jeu consiste à simuler le lancer d’une balle.

On admet que la probabilité d’atteindre une partie de l’écran est donnée par :

Cette probabilité est indépendante de l’unité graphique choisie.

Déterminer, par le calcul, la probabilité que la balle atteigne la zone (Z). (1 point)

La probabilité d’atteindre la partie (Z) de l’écran est :

Or :

• l’aire de la partie (Z) est égale à A_Z (en unités d’aires) ;
• l’aire du carré AOFB égale à 4 ´ 4 = 16 unités d’aire (car AOFB est un carré de côté 4 unités).

On en déduit que la probabilité que la balle atteigne la partie (Z) est :

d’où  p(Z) = 0,044 (à 10^–3 près) .

2. Dans cette question le jeu consiste à simuler trois lancers successifs et indépendants ; on admet que, pour chaque lancer, la probabilité d’atteindre (Z) est de 0,044. On gagne lorsque deux au moins des trois balles lancées ont atteint la partie (Z).

Calculer la probabilité de gagner. (2 points)

On pourra s’aider d’un arbre et on fera figurer le détail des calculs sur la copie.

Construisons un arbre pondéré pour identifier les lancers gagnants :

On en déduit que quatre lancers successifs qui permettent de gagner :

La probabilité d’atteindre trois fois la partie (Z) est (0,044)³ (lancer (ZZZ) ).

Pour chacun des trois autres lancers, on atteint deux fois la partie (Z) et une fois le reste du plan. On a :

• la probabilité d’atteindre la partie (Z) est (0,044)
• la probabilité d’atteindre le reste du plan est : (1 - 0,044)

donc la probabilité de chacun de ces trois lancers sera égale à (0,044)² ´ (1 - 0,44)

donc p(G) = (0,044)³ + 3 ´ (0,044)² ´ 0,956

donc p(G) = 0,006 à 10^-3 près,

donc la probabilité de gagner est égale à 0,006 à 10^-3 près,

Remarque : (SPECIALITE)

On aurait pu également utiliser le raisonnement suivant qui rend inutile la construction d’un arbre pondéré.

On considère qu’on est dans un schéma de Bernoulli de paramètres n = 3 et p = 0,044 et on calcule les deux termes de notre somme par la formule :

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