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Correction du sujet : Bac ES 1999 Paris (Juin 99)

Exercice 1 (6 points) Énoncé

1. 2. a. 2. b. 2. c. 2. d. 3. a. 3. b. 4. a. 4. b. 4. c.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

méthode de Mayer
méthode des moindres carrés
résidus

Le tableau suivant donne l’indice mensuel des dépenses d’assurance maladie d’août 94 à juin 95 (tendances observées à fin juillet 1995 - base 100 janvier 1990).

Mois

Août 94

Oct 94

Déc 94

Fév 95

Avril 95

Juin 95

Rang du

mois x_i

Indice y_i

123,4

125,9

127,5

127,9

129

131,4

(Source : Département statistique de la Caisse Nationale de l’Assurance Maladie des Travailleurs Salariés).

Pour tout l’exercice, les détails des calculs statistiques ne sont pas demandés. Les résultats seront arrondis avec deux chiffres après la virgule.

On a représenté sur le document 1 de l’annexe ci-jointe le nuage de points M_i(x_i ; y_i) associé à la série statistique dans un repère orthogonal. G désigne le point moyen du nuage. On veut réaliser un ajustement affine de ce nuage de points.

1. Déterminer les coordonnées du point G et placer ce point sur le graphique. (0,75 point)

On a :

donc le point moyen G a pour coordonnées ( 6 ; 127, 52 ) .

2. Le modèle étudié dans cette question sera appelé “ droite de Mayer ”.

2. a. G₁ désigne le point moyen des trois premiers points du nuage et G₂ celui des trois derniers points. Déterminer les coordonnées de G₁et de G₂. (0,5 point)

Soit G₁ le point moyen des trois premiers points du nuage : {(1 ; 123,4), (3 ; 125,9), (5 ; 127,5)} .

donc G₁ admet pour coordonnées ( 3 ; 125,6 ) .

Soit G₁ le point moyen des trois premiers points du nuage : {(7 ; 127,9), (9 ; 129), (11 ; 131,4)} .

donc G₂ admet pour coordonnées ( 9 ; 129,43 ) .

2. b. Déterminer l’équation réduite de la droite (G₁G₂) sous la forme y = Ax + B. (1 point)

Nous pouvons utiliser deux méthodes pour arriver à ce résultat.

1^ère méthode :

G₁ et G₂ appartiennent à la droite (G₁G₂) ,

donc leurs coordonnées vérifient l’équation de la droite (G₁G₂) ,

donc :

125,6 = 3A + B
129,43 = 9A + B

donc A et B sont solutions du système :

donc une équation de la droite (G₁G₂) est y = 0,64x + 123,68 .

2^ème méthode : (plus belle d’un point de vue mathématiques)

Soit (x₁,y₁) les coordonnées de G₁ et (x₂,y₂) les coordonnées de G₂ .

Le coefficient directeur de la droite G₁ et G₂ est :

Pour calculer la valeur de B , on utilise les coordonnées de G₁ ou G₂ (qui vérifient l’équation de la droite (G₁G₂) puisque G₁ et G₂ appartiennent à cette droite !).

Avec G₁ on obtient : 125,6 = 0,64 ´ 3 + B , d’où B = 123,68 .

L’équation réduite de la droite (G₁G₂) est donc : y = 0,64 x + 123,68 .

Remarque :

On a : 0,64 ´ 6 + 123, 68 = 127,52 donc la droite (G₁G₂) passe par le point G .

2. c. Tracer la droite (G₁ G₂) sur le graphique précédent. (0,5 point)

2. d. En utilisant la calculatrice, déterminer la somme des résidus pour cet ajustement affine : (1,5 point)

3. Le deuxième modèle proposé est celui des moindres carrés.

La calculatrice donne :

· l’équation de la droite (D) d’ajustement de y en x : y = 0,71 x + 123,26.

· la somme des résidus pour cet ajustement S₂ » 1,7 (arrondie avec un chiffre après la virgule).

3. a. Des droites (D) et (G₁ G₂), quelle est celle qui réalise le meilleur ajustement affine ? Justifier. (0,5 point)

Par le cours, on sait que la droite réalisant le meilleur ajustement affine est celle qui a la somme des résidus la plus faible.

Les somme des résidus S₁ et S₂ sont respectivement égales à 2,04 et 1,7 ,

donc on a S₂< S₁.

donc la droite réalisant le meilleur ajustement affine est la droite (D) .

3. b. Tracer (D) sur le graphique précédent. (0,25 point)

4. a. Quels sont les indices mensuels que l’on pouvait prévoir en utilisant l’ajustement affine par la méthode des moindres carrés (question 3) pour les mois cités dans le tableau ci-dessous ? (0,5 point).

4. b. Recopier le tableau ci-dessous et le compléter. (0,25 point)

Mois	Nov 95	Déc 95	Jan 96
Indices prévisionnels calculés par l’ajustement affine des moindres carrés
Tendances réellement observées	134,3	133,4	133,5

Les rangs des mois de novembre 95, décembe 95 et janvier 96 sont respectivement 16, 17 et 18 .

Les indices sont calculés à l’aide de l’équation de (D) : y = 0,71x + 123,26 en remplaçant x successivement par 16, 17 et 18.

Les résultats obtenus apparaissent dans le tableau suivant :

Mois	Nov 95	Déc 95	Jan 96
Indices prévisionnels calculés par l’ajustement affine des moindres carrés	134,6	135,3	136,0
Tendances réellement observées	134,3	133,4	133,5

4. c. Quel commentaire peut-on faire ? (0,25 point)

L’écart entre l’indice prévisionnel et la tendance réelle augmente au fil des mois.

L’ajustement par la méthode des moindres carrés est de moins en moins satisfaisant au cours des mois.