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Correction du sujet : Bac ES 1999 Asie (Juin 99)

Exercice 2 (6 points) SPECIALITE Énoncé

a. b. c. d. e.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

géométrie dans l’espace
équation de plan

Dans l’espace rapporté au repère orthonormal (O ; i , j , k ) , on a placé les points : (voir Annexes 1 et 2)

· A (0 ; 0 ; 18)

· B (0 ; 15 ; 0)

· C (22,5 ; 0 ; 0)

· D (0 ; 0 ; 12,5)

· E (0 ; 25 ; 0)

· F (12,5 ; 0 ; 0).

Le plan (ABC) a pour équation : 4x + 6y + 5z = 90.

Le plan (DFE) a pour équation : 2x + y + 2z = 25.

La droite (GI) est l’intersection des plans (ABC) et (DFE).

On admet que tout point M (x ; y ; z) appartenant au polyèdre ODGBIF a des coordonnées qui satisfont aux conditions :

· x ³ 0

· y ³ 0

· z ³ 0

· 4x + 6y + 5z £ 90

· 2x + y + 2z £ 25

Une usine fabrique 3 types de vannes pour l’industrie pétrolière.

Pour fabriquer le modèle V₁, il faut 20 heures d’usinage et 20 heures de montage.

Pour fabriquer le modèle V₂, il faut 30 heures d’usinage et 10 heures de montage.

Pour fabriquer le modèle V₃, il faut 25 heures d’usinage et 20 heures de montage.

Le nombre d’ouvriers spécialisés permet de disposer de 450 heures d’usinage par semaine.

Le nombre d’ouvriers monteurs permet de disposer de 250 heures de montage par semaine.

On désigne par x le nombre de vannes de type V₁ fabriquées dans une semaine, y le nombre de vannes de type V₂ et z le nombre de vannes de type V₃.

Les points de coordonnées (x ; y ; z) qui satisfont aux contraintes précédentes sont situés à l’intérieur du polyèdre ODGBIF.

Le bénéfice réalisé sur une vanne de type V₁ est de 2 000 F, sur une vanne de type V₂, il est de 3000 F et enfin sur une vanne de type V₃, il est de 5000 F.

Un point de coordonnées (x ; y ; z) représente une production.

Questions :

a. Montrez que les points représentant une production pour laquelle le bénéfice total est de 30000 F sont situés sur le plan (P) d’équation cartésienne 2x + 3y + 5z = 30. (1 point)

Le plan (P) est tracé sur la figure de l’annexe 2 .

Si, en une semaine, on fabrique x vannes de type V₁ , y vannes de type V₂ et z vannes de type V₃ on réalisera un bénéfice total égal à :

2000 x + 3000 y + 5000 z

Si ce bénéfice vaut 30000 francs alors on a :

2000 x + 3000 y + 5000 z = 30000 ó 2 x + 3 y + 5 z = 30

donc les points représentant une production pour laquelle le bénéfice total est de 30000 F sont situés dans le plan (P) d’équation 2x + 3y + 5z = 30 .

b. Montrez qu’une production de 5 vannes de type V₁, de 5 vannes de type V₂ et d’une vanne de type V₃ est réalisable par cette usine en une semaine et que le bénéfice alors réalisé est de 30000 F. (1 point)

Quelle conclusion en tirez-vous sur la position du point K de coordonnées (5 ; 5 ; 1) ? (1 point)

D’après les hypothèses de l’énoncé, on déduit que :

pour fabriquer 5 vannes de type V₁, il faut 100 heures d’usinage et 100 heures de montage ;
pour fabriquer 5 vannes de type V₂, il faut 150 heures d’usinage et 50 heures de montage ;
pour fabriquer l vanne de type V₃, il faut 25 heures d’usinage et 20 heures de montage.

Cette production nécessite un total de 275 heures d’usinage et 170 heures de montage.

Or, par hypothèse, le nombre d’ouvriers spécialisés permet de disposer de 450 heures d’usinage et , le nombre d’ouvriers monteurs permet de disposer de 250 heures de montage par semaine,

donc une telle production est bien réalisable.

Calculons le bénéfice réalisé dans ces conditions :

5 ´ 2000 + 5 ´ 3000 + 1 ´ 5000 = 10000 + 15000 + 5000 = 30000 francs ,

donc le bénéfice réalisé est bien de 30000 francs.

On déduit de ce qui précède que le point K de coordonnées (5 ; 5 ; 1) appartient au plan (P).

c. Montrez que les points représentant une production pour laquelle le bénéfice total est de 60000 F sont situés sur le plan (Q) d’équation cartésienne : 2x + 3y + 5z = 60. (1 point)

En utilisant le même raisonnement qu’à la question a. , on obtient :

60000 = 2000 x + 3000 y + 5000 z ó 60 = 2x + 3y + 5z

donc les points représentant une production pour laquelle le bénéfice total est de 60000 F sont situés dans le plan (Q) d’équation 2x + 3y + 5z = 60 .

d. Quelle remarque pouvez-vous faire sur les plans (P) et (Q) ? (1 point)

Les plans (P) et (Q) admettent tous deux le vecteur (2 ; 3 ; 5) comme vecteur normal,

donc les plans (P) et (Q) sont parallèles.

e. On admet que le bénéfice réalisé par l’entreprise est maximal lorsque le plan (R) d’équation 2x + 3y + 5z = b passe par le point G dont les coordonnées sont : (0 ; 55/7 ; 60/7 ) .

Calculer ce bénéfice maximal. (1 point)

D’après l’hypothèse faite, le bénéfice maximal est :

Le bénéfice maximal est donc d’environ 66429 francs.

Remarque :

En réalité, on ne peut pas atteindre ce bénéfice maximal sur une semaine car on ne peut produire que des vannes entières et pas des fractions de vannes !!!